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定義式を使っての級数の収束半径の求め方は?
Σ[k=0..∞]k^k(x-3)^k/k!の収束半径を定義式を使って求めています。 [解] X=x-3として収束半径の定義式から r=1/lim[n→∞]sup{|k^k/k!|^(1/k)∈R;k≧n}=1/lim[n→∞]sup{k/k!^(1/k)∈R;k≧n} でこれから スターリングの公式n!≒√(2πn)n^n/e^nを試してみました。 r=1/lim[n→∞]sup{k/k!^(1/k)∈R;k≧n} =1/lim[n→∞]sup{k/(√(2πk)k^k/e^k)^(1/k)∈R;k≧n} =1/lim[n→∞]sup{k/((2πk)^(1/(2k))k/e)∈R;k≧n} =1/lim[n→∞]sup{1/((2πk)^(1/(2k))/e)∈R;k≧n} =1/lim[n→∞]sup{e/(2πk)^(1/(2k))∈R;k≧n} =1/lim[n→∞]∞ (∵t:=(2πk)^(1/(2k))と置き対数を採るとlnt=1/(2k)ln(2πk) 1/tdt/dk=-2/(4k^2)ln(2πk)+1/(2k)2π/(2πk) 1/tdt/dk=-1/(2k^2)ln(2πk)+1/(2k^2) dt/dk=(2πk)^(1/(2k))(1/(2k^2)-1/(2k^2)ln(2πk)) dt/dk=(2πk)^(1/(2k))・1/(2k^2)(1-ln(2πk)) ここで1-ln(2πk)<0より(2πk)^(1/(2k))は減少数列。 よってe/(2πk)^(1/(2k))は増加数列) =0 となってしまいます。正解はr=eだと思います。 何を間違っているのでしょうか?
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