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極限値
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ANo.2ですが、誤りがあったので訂正します。 > ロピタルの定理を使わなくても、 > x → 0でtan^-1(1/x)が無限大に発散しないので、 > lim[x → 0] xtan^-1(x) = 0と考えられませんか? 正しくはこうです。 ロピタルの定理を使わなくても、 x → 0でtan^-1(1/x)が無限大に発散しないので、 lim[x → 0] xtan^-1(1/x) = 0と考えられませんか? 失礼しました。
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- R_Earl
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> lim[x→0] x tan^-1(1/x) tan^-1(x)はtan(x)の逆関数でしょうか? > ロピタルの定理で > lim[x→0] {tan^-1(1/x)}/(1/x) > =lim[x→0]{tan^-1(1/x)}'/(1/x)' > =lim[x→0]{-1/(1+x^2)}/(1/x)^2 > =lim[x→0](x^2)/(1+x^2)=0 まず、ロピタルの定理は使えないはずです。 あれは、0/0か∞/∞の不定形になるものにしか使えなかったと思います。 tan^-1(1/x)→∞なら使えますが、そうではないので使えません。 tan^-1(x)の値域は -π/2 < tan^-1(x) < π/2 ですよね。なので -π/2 < tan^-1(1/x) < π/2 です。 ロピタルの定理を使わなくても、 x → 0でtan^-1(1/x)が無限大に発散しないので、 lim[x → 0] xtan^-1(x) = 0と考えられませんか? もうちょっとちゃんと示したいのなら、先ほどの式 -π/2 < tan^-1(1/x) < π/2 にxをかけて、はさみうちの定理を使えば示せます。 x → +0の場合と、x → -0の場合で分けて考える必要がありますが。 > ちなみに tan^-1(1/x) > のグラフはどのようになるのでしょうか? xに値を代入し、その時のtan^-1(1/x)の値を計算して グラフにプロットするしかありません。 tanの三角比表があれば、作業が大分楽になります。 例えばx = 1の時、tan^-1(1/x) = tan^-1(1) = π/4。 x = √3の時、tan^-1(1/x) = tan^-1(1/√3) = π/6です。
- proto
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逆三角関数についての公式 arctan(x)+arctan(1/x) = π/2 を使います。 arctan(1/x) = π/2 -arctan(x) です。
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回答ありがとうございます。
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お礼
回答ありがとうございます。 はさみうちの定理で行うと -π/2<tan^-1(1/x)<π/2 =-πx/2<xtan^-1(1/x)<πx/2 より lim[x→0]-πx/2=0 lim[x→0]πx/2=0 よって lim[x→0]xtan^-1(1/x)=0 になるで良いのですよね? ありがとうございました。