• 締切済み

極限

lim(x→∞) (x-sinx)/x という問題なのですが、まずロピタルの定理を用い、lim(x→∞) (1-cosx) となりました。 解答には１と書いてあったのですが、cos∞　がどうなるのかわかりません。どのように扱えば良いのでしょうか。

みんなの回答

回答No.2

lim_(x→∞) (x-sin x)’/(x)’= lim_(x→∞) (1-cos x) が収束しないということは，ロピタルの定理の仮定が 成り立たないということです。その時点で「おかしい」と 気づかなければなりません。 (x-sin x)/x = 1 -(sin x)/x，|sin x|≦1 より，１に収束することは容易に導けると思います。 ロピタルの定理は美しい定理ですが，意外と実用性が 低いということも覚えておくべきでしょう。 大学入試までの問題に限れば，ロピタルの定理を用い るより簡単に解ける方法が必ずあります。 大学の教養レベルでも，テーラー展開により収束・発散 のオーダーを考える方が現実的です。 （微分するのは同じだと思われるかも知れませんが， 前提条件のチェックにわずらわされることがありません。）

mamoru1220
質問者

お礼

ありがとうございます。

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.1

ロピタルの出番はない。 (x - sin x)/x = 1 - (sin x / x) なので、一瞬で答えを得るだろう。

mamoru1220
質問者

お礼

ありがとうございます。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 極限

    問い：lim[x→0] 1/sinx-1/(x+x^2) 私の回答： 　1/sinx - 1/x + 1/(x+1) ←部分分数分解 ＝(x-sinx)/xsinx + 1/(x+1) ここで、前者の項だけ考える。 x→0のとき　x-sinx →0 xsinx→0 よりロピタルの定理を用いる。 微分して (1-cosx)/(sinx+xcosx) もう一度微分して sinx/(2cosx-xsinx) →0 (x→0) ロピタルの定理より、前者の項は (x-sinx)/xsinx　→0 また後者の項は 1/(x+1)→1　(x→0) よって、 lim[x→0] 1/sinx-1/(x+x^2)＝１ グラフは確認済みなので、答えは合っています。 導き方はこれでよいのでしょうか。 極限を前者と後者のように分けて考えても、大丈夫ですか？ １度に　x→0　を考えていれば問題ないと思うのですが、自信がありません。

  • 極限値を求める問題

    いつもみなさんの問題解決のためのアイデアに感心しております。 今日行き詰まった問題は、以下のものです。 極限値を求めよ lim[x→0](1/x - 1/sinx) 変形すると lim[x→0]((sinx-x)/xsinx) 0/0の形になるから先日教えていただいたロピタルの定理を使って上下を微分し、 lim[x→0](cosx/(sinx+xcosx)) さらに上下を微分し lim[x→0](-sinx/(cosx+cosx-xsinx)) と置き換えて 答え”０”で良いのでしょうか？ よくご存じの方、”正解”がついていないので、ご教示をお願いします。

  • 極限値

    1.lim(x→0)tanx/x 2.lim(x→0)(1-cosx)/x^2 3.lim(x→0){1-cos(1-cosx)}/x^4 1.lim(x→0)cosx*sinx/x=1 2.lim(x→0)(sinx/x)^2*1/(1+cosx)=1/2 で合っているでしょうか？ あと3がわかりません。どなたかアドバイスをお願いします。

  • 極限値

    1.lim(x→0)(1-cosx)/x^2 2.lim(x→0){1-cos(1-cosx)}/x^4 1.lim(x→0)(sinx/x)^2*1/(1+cosx)=1/2 これを用いて2を解きたいのですが、どのようにすればいいのかわかりません。 どなたか教えてください。

  • 極限値

    1.lim(x→0)(1-cosx)/x^2 2.lim(x→0){1-cos(1-cosx)}/x^4 1. lim(x→0)(sinx/x)^2*1/(1+cosx)=1/2 2. x → 0 で 1-cos x → 0. 1-cos x = y とおくとx → 0 のとき y → 0 だから (与式)=0 このような解き方で合っているのでしょうか？ 間違っていたら教えてください。よろしくお願いします。

  • ロピタルの定理の問題が分かりません。

    ロピタルの定理を用いて、次の不定形の極限値を求めよ。 lim(x->0)(sinx-tanx)/x^3 と言う問題なのですが、計算すると lim(x->0)((cosx)^3-1)/3x^2(cosx)^2= lim(x->0)-(sinx)^2(cosx)^2/(2x(cosx)^2)-(x^2)sin2x= lim(x->0)-sin2xcos2x/(cosx)^2-2xsin2x-(x^2)cos2x= lim(x->0)-2cos4x/-3sin2x-6xcos2x+2(x^2)sin2x= lim(x->0)2sin4x/3cos2x+4xsin2x+(x^2)cos2x=0 となってしまいます。 正解答は-1/2になるようなのですが、どなたかお教え下さい。

  • 極限値

    (1)lim(x→0) (e^x - e^sinx)/(x-sinx) (2)lim(x→0) (x-log(1+x) )/(x^2) 大学１年ですが、これはロピタルの定理を使うのでしょうか？計算ができなかったので教えてください！

  • ロピタルの定理を用いた極限の問題

    前回、同じような質問をしたのですが途中の計算が理解出来なかったので質問させていただきます。 次の極限を求めよ (4) lim[ｘ→∞] (logx)^n/x (5) lim[x→0]　(1/x-cosx/sinx) (6) lim[x→+0] x^x ロピタルの定理を使って下さい。（途中式も出来れば） お願いします。

  • 極限の問題です。

    lim_x→0(cosx)^1/x^2 の極限値の答えと途中式を 教えてほしいです(＠_＠;) ロピタルの定理を使うそうなんですが... お願いします。

  • 関数の極限

    こんにちは lim～で表される数学の問題がわかりません(T_T) (1) lim(x→0)　cos1/x (2) lim(x→π/2）　tanx (2)はsinx/cosxに変換する気がするのですが、それでもその先がわかりません。。。 ご協力お願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する