確率？の問題

質問

どうもこんにちは。

最近知り合いに聞かれてうまく答えられなかった、
確率？の問題がありました。
web で検索してますが、解釈が何通りもあるようで、
なかなか答えにたどりつきません。
どなたか解法を教えていただけませんか？

[1]
コインを投げ、その裏表を当てるギャンブルを行う。
コインの表が出る確率、裏が出る確率はそれぞれ50%である。
コインの裏表を当てた場合、所持金が1割増える。
外した場合、所持金が1割減る。
このギャンブルを続けた場合、破産することを説明せよ。

自分の回答：
1回勝った後、負けた場合、
勝負しなかったときより所持金が減っている。
直感では必ず負けそうだが、数式にうまく表現できない。
web では破産しない、トントンになる。という説明もあり、
どっちかわからない。。。

[2]
以下は友人ＡとＢの会話である。
Ａ「お子さんは何人いらっしゃいますか？」
Ｂ「二人いますよ。」
Ａ「女の子はいますか？」
Ｂ「はい、いますよ。」
このとき、Ｂの子供が二人とも女の子である確率はいくつか？

自分の答え：
両方とも女の子である確率は1/3 だと思ったのですが、
友人の中で 1/2 と 1/3 に分かれてしまいました。
まさか、
「片方はもう成人していて、女の子という年齢ではない。」
なんていう解答じゃないとは思うのですが。。。

[3]
私とあなたで、
当たりのカード1枚と外れのカード2枚をつかった、
ギャンブルを行う。
3枚を私がよく切り、あなたが1枚を選択する。
私にはどのカードが当たりで、
どのカードが外れかはわかっている。
あなたが当たりのカードを選択すれば、あなたの勝ちになる。

以下、追加のルール：
あなたがカードを選択した後、
そのカードを確認する前に、
私は残った2枚から、外れのカードを1枚公開する。
その後、あなたは最初に選択したカードをやめて、
残ったカードのうち、公開されなかったほうのカードを
選択しなおすことができる。

外れのカードが公開された後、
最初に選択したカードのままにするか、
残ったカードに交換するか、
どちらのほうが当たりやすいか。
当たりやすいなら、もう片方と比べて、
どの程度当たりやすいのか。

自分の答え：
モンティホール問題？というのがあるらしく、
それで現在調べています。

こんな感じの問題だったと思います。

回答No.8

Ishiwara · ベストアンサー

＃６です。[１]についての補足を拝見しました。
「破産」するかどうか、であれば、破産を数学的に定義する必要があります。これと同様に「次第に減って行く」という記述も数学的にはあいまいです。

期待値は正か負か、という問いであれば、数学的な取り扱いは可能です。本件では、期待値はゼロですから、「損得なし」のはずです。しかし、多数の人が多数回の試行をくりかえすと、大部分の破産者と少数の富豪という形になるでしょう。期待値だけでは行動できない、という点で「セント・ペテルスブルグ（サンクトペテルブルグ）のパラドックス」と、基本的には同じ議論となります。

お礼

回答ありがとうございます。

「サンクトペテルブルクのパラドックス」を調べてみました。
今回の件とは別に調べてることがあり、
これを参考にしようと思います。

ありがとうございました。

回答No.3

rinkun

[1]だけ。
所持金xのとき、ゲームを一回行った後の所持金の期待値は
1.1*x*0.5+0.9*x*0.5 = x
したがって、ゲームを続けても所持金の期待値は変化しない。
このことから、このゲームは平均的には損も得もない。

質問者さんもANo.2さんも勘違いしていますが、コイン投げでは表と裏は必ずしも均等に出るわけではありません。実際にやったら大勝ちしたり大負けしたりするパターンがけっこう多いです。ANo.2さんの記述でいえば、m-nが-無限大にならないとはいえないのです。
そしてANo.1さんが書かれているようにいくら大負けしても損害は有限でいくらでも続けられます。破産はありえません。
プレーヤーの勝ち逃げが許されるなら、むしろ必勝パターンのゲームではないかと思われます。
# 毎回一定額を掛ける方がむしろ破産のリスクがある

お礼

回答ありがとうございます。

[1] について、
「賭けごとに所持金が違うのに、1回の期待値が同じだからといって、
期待値が変化しないといえるのか？」
と突っ込まれました。:-(
しかし、ゲームを行った回数 N と勝った回数 K をつかって、
N 回目の期待値を表す式を求め、
期待値が変化しないことを帰納法で証明できました。

> コイン投げでは表と裏は必ずしも均等に出るわけではありません。

パソコンでシミュレートして0に収束していったので、
安易に損をすると結論付けてしまったようです。:-(
「負けの確率と勝ちの確率、どちらのほうが高いか」なら
確かに負けのほうが高いですが、
期待値を取ると変わらないのですね。

ありがとうございました。

回答No.2

Quattro99

［1］
数学的にどう説明すればよいのかよくわかりませんが、その考え方でよいと思います。
何回か行ったとき、勝ちの回数をn回、負けの回数をm回とします。
すると所持金は元の(1.1^n)*(0.9^ｍ)倍となりますが、
(1.1^n)*(0.9^m)
=(1.1^n)*(0.9^(n+m-n))
=(1.1^n)*(0.9^n)*(0.9^(m-n))
=(0.99^n)*0.9^(m-n)
となり、ずっと続けるとnは無限大になるけど、m-nは-無限大にならないので0*有限となって0に収束することになるのではないかと思います。

トントンと言っているのは、所持金全額ではなく、毎回一定の金額を掛金として出す場合と混同しているのではないかと思います。

［2］
このサイトでもさんざん出てきた問題です。結局、「一人は女の子がいる」ということがどうやって判明したのかという条件によることになるようです。
その問題では、1/3が正解だと思います。兄妹、姉弟、姉妹のどれかということになり、それぞれ同じ確率で存在しますから（男の子と女の子が生まれる確率が同じだとすれば）、1/3となります。
判明の仕方が「二人のうち一人を見たら女の子だった」という場合は1/2になります。「兄妹の妹を見た」「姉弟の姉を見た」「姉妹の姉を見た」「姉妹の妹も見た」のうちの姉妹である確率なので2/4=1/2です。

［3］
選択し直した方があたりやすい。
結局、最初に選んだカードが当たりか、選ばなかった残りに当たりがあるのかという問題と同じだから。当然、1/3と2/3で選び直した方が2倍あたりやすい。
この問題も、このサイトで頻繁に質問されているので検索するといっぱい出てくると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

[1] については、「破産する」という表現の解釈が色々あるようで、
明確にしなければならないと思いました。
他の方の回答にあるように、所持金に小数以下を認めるなら、
「0には決してならないので破産してない」、
ともいえてしまうと思いました。
出題者の意図はわかりませんが、
私は期待値（平均値？）が減っていくと解釈していました。
期待値であれば、何回繰り返しても変化しないですね。。。

[2] についてはまだ友人の中で 1/2 と 1/3 で分かれています。
もう少し、整理して考えて見ます。

[3] はモンティホール問題を調べて理解できました。
が、これは他の人に説明するのは難しそうですね。。。

ありがとうございました。

回答No.1

nrb

[1]
このギャンブルを続けた場合、破産することを説明せよ。

永遠に負けても
外した場合、所持金が1割減る
ので無限に０に近くなりますが・・・０には成りません

しいて言えば
胴元は破産しますね
収益が０円ですから・・人件費など発生しますので・・・そのうち破産しまけどね

2]
以下は友人ＡとＢの会話である。
Ａ「お子さんは何人いらっしゃいますか？」
Ｂ「二人いますよ。」
Ａ「女の子はいますか？」
Ｂ「はい、いますよ。」
このとき、Ｂの子供が二人とも女の子である確率はいくつか？

これね・・・・
その子供が女のであるかの話じゃ無い可能性がありますね
実は猫が女の子って名前だったり・・・・

したがって・・・・
確実に１名　女性とは断言できません
また基本的に女性の方が生まれる確立は少ない
男女の確立は１／２では無いんです
思い込みやられる・・・・・１/２に思えてします（これが盲点）

１ではコインの表が出る確率、裏が出る確率はそれぞれ50%
と記載されているが
２にはありません

したがって確立では表せません
仮に１／２ならば１／４となります

３
確立は同じです
これ心理学の問題ですね
あとひっけけ問題です

引いたカードは見れないので当たりか外れかは判りません

当り　だと相手は外れを出すことになりますね

外れだと　必ず相手は当りを出します

結果として同じ確立になりますね

まさか

外れで相手は外れを出しませんので・・・この分の選択肢が減りますので１/３になりますね