不等式の最大・最小問題について

質問

チャート式数学難問集100のなかの例題で以下のような問題と解法が載っていました。
問「x>0,y>0のとき√x+√y≦a√(x+y)が常に成り立つような正の数aの最小値を求めよ」
解「x=yの時を考えると√x+√x≦a√(x+x) ゆえに2√x≦a√2√x
√x>0であるから、2≦a√2 よって a≧√2
次にa=√2とすると、x>0,y>0のとき
(√2√(x+y))^2-(√x+√y)^2=x-2√(xy)+y=(√x-√y)^2≧0
ゆえにx>0,y>0のとき(√2√(x+y))^2≧(√x+√y)^2が常に成り立つ。
√2√(x+y)>0,√x+√y>0から√2√(x+y)≧√x+√yが常に成り立つ。
したがって、求めるaの最小値は√2」
注意「上記の解法は特別な場合（x=y）からaの必要条件を求め、それを満たすaの最小値の時に不等式が成り立つ、すなわちその値が十分条件を満たすという手法を用いている。この手法が使えるのは、不等式が対称式に限り有効」

ここで質問なのですが、なぜ対称式の時はx=yの時のみを考えればよいのでしょうか？
対称式であるためにx=yかx<yか、を考えればよいのでしょうが、x=yの時の値が最小値を取る（x<yの時は最小値を取らない）というのはどのように証明できますでしょうか？

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

＞なぜ対称式の時はx=yの時のみを考えればよいのでしょうか？

それは大いなる間違い。結果がそうなる場合が多い、というだけ。

対称性を使ってみよう。両辺が正から、2乗してやる。
a≧（x+y＋2√（xy））/（x+y）‥‥(1)　であるから、x+y＝m、xy＝nとすると、m＾2-4n≧0、m＞0、n＞0で(1)の最大値を考える。
あとは、簡単だろう。

補足

仰る方法でやると正解が導けそうなのですが（何故か不等号が逆向きになって現在もちょっとうまくいってない…）

＞それは大いなる間違い。結果がそうなる場合が多い、というだけ。

ということであれば、やはりx≠yの時も本当は考えなければならないのでしょうか？
実際のテストでx≠yの時に触れなければ減点をくらいますでしょうか？

回答No.9

take_5

別解を考えるのが好きなんでね。。。。。。笑

a＾2*（x+y）≧（√x+√y）＾2‥‥(1)より、
シュワルツの不等式から、{（√x）＾2＋（√y）＾2}*（1＾2＋1＾2）≧（√x+√y）＾2　。
つまり、2*（x+y）≧（√x+√y）＾2　‥‥(2).　等号はx＝yの時。
(1)と(2)より、a＾2≧2　従ってa＞0より　a≧√2。

回答No.8

take_5

2変数が嫌なら、相加平均・相乗平均を使うと良い。

x＞0、y＞0より　x＋y≧2√（xy）つまり、2√（xy）/（x＋y）≦1　等号はx＝yの時。
よって、a＾2≧{x+y＋2√（xy）}/（x+y）＝1＋{2√（xy）/（x+y）}≦2。
つまり、a＾2≧2　　a＞0より　a≧√2　等号はx＝yの時。

この方がわかり易いかな？

回答No.7

take_5

＞ということであれば、やはりx≠yの時も本当は考えなければならないのでしょうか？
実際のテストでx≠yの時に触れなければ減点をくらいますでしょうか？

その問題集の解答は論理の運び方を考えると、慣れている者には良いが、高校生などには余り好ましい解答とは思えない。
高校生向きのorthodoxで一般的（＝参考になる、という意味）解答ではない。
いっその事、その解答は忘れてしまった方が良いように思う。

ついでに、誤記の訂正。。。。。。又か。。。。笑

＞右辺＝x+y＋2√（xy））/（x+y）＝（m+√n）／（m）≦

　　　　　　　　　↓

　右辺＝x+y＋2√（xy））/（x+y）＝（m+2√n）／（m）≦

回答No.6

take_5

＞＞仰る方法でやると正解が導けそうなのですが（何故か不等号が逆向きになって現在もちょっとうまくいってない…）

＞a＾2≧（x+y＋2√（xy））/（x+y）‥‥(1)　であるから、x+y＝m、xy＝nとすると、m＾2-4n≧0、m＞0、n＞0で
(1)の右辺の最大値を考える。
最初にnの関数として考えれば（図形で考えるより）2変数問題として　4n≦m＾2から考えた方が、簡単にいくだろう

m＞0、0＜n≦m＾2/4であるから、右辺＝x+y＋2√（xy））/（x+y）＝（m+√n）／（m）≦（m+m）/（m）＝2
よって、a＾2≧2　　a＞0より　a≧√2　。等号成立は、4n＝m＾2　つまりx＝yの時。

回答No.5

kumipapa

＞　ただし、このa≧√2と言う条件はあくまでx=yの時に導き出した不等式であり、x≠yの時にはもしかしたらもっと小さいaの値をとるかもしれない、という推測は的外れなのでしょうか？

的外れではありません。だからこそ、a = √2 のときに　任意の x,y で( x>y でも x<y でも）成立することをわざわざ示しているわけです。これが示せたわけですから、x ≠ y では a はもっと小さな値でも与式を成立させるわけですよね。a の最小値という意味について、ちょっと混乱してるかな？　テストなんかで x ≠ y について言及しなければ、当然点はもらえないでしょう。

確かに、解説の方法は一つの方法ではあるのですけど、勘に頼った部分は確かにありますよね。√x + √y と √(x + y) は共に対称式で、それぞれが単調な関数なので、x = y か x, y→0 か x,y→∞に何かある可能性が高いでしょうと。で、求めるものが （√x + √y)/√(x + y) の最大値なので、問題の解があるとすれば x = y である可能性が高い。x, y→0 や x,y→∞では収束したとしても「最大値」にはならないでしょうから。

でも、a ≧ (√x + √y) / √(x + y) が任意の x>0, y>0 で成立する最小の a を求めるってことは、この右辺の最大値を求めればよいのですから、
右辺^2 = (√x + √y)^2 / (√(x + y))^2
　= (x + y + 2√(xy)) / (x + y)
　= 1 + 2√(xy)/(x + y)
　≦ 2
等号は x = y で成立
故に　a の最小値は √2
の方がずっと簡単ですね。

回答No.4

take_5

訂正。。。。。。。いつもの事。。。。。。笑

＞a≧（x+y＋2√（xy））/（x+y）‥‥(1)　であるから、x+y＝m、xy＝nとすると、m＾2-4n≧0、m＞0、n＞0で(1)の最大値を考える。

　　　　　　　　　　　　↓

a＾2≧（x+y＋2√（xy））/（x+y）‥‥(1)　であるから、x+y＝m、xy＝nとすると、m＾2-4n≧0、m＞0、n＞0で(1)の右辺の最大値を考える。
最初にnの関数として考えれば（図形で考えるより）2変数問題として　4n≦m＾2から考えた方が、簡単にいくだろう。

回答No.2

kumipapa

#1 思いっきり勘違いさせちゃうと思うので補足です。
x = y のときの値が a の最小値を与えるとは解説も言ってはいません。少なくとも x = y のときに成立しなければならないから、そこから a の条件を求めてみた。で、a が √2 以上じゃなきゃいけないことが分かった。じゃあ、a = √2 だったら任意の x, y で成立するのかってことを調べましたという流れ。「対称式だから x = y のときが必ず a の最小値を与える」とは言ってないですね。

補足

回答ありがとうございます。

仰る内容でかなり理解できましたが一つ質問があります。
x=yでもx<y(またはx>y)でも不等式が常に成り立たなければならないから、まずはx=yの時を考えてa≧√2という条件を導き出すのは分かりました。
逆にa=√2の時にx>0,y>0上での任意のx,yについて不等式が成り立つということも分かりました。
ただし、このa≧√2と言う条件はあくまでx=yの時に導き出した不等式であり、x≠yの時にはもしかしたらもっと小さいaの値をとるかもしれない、という推測は的外れなのでしょうか？
なぜx≠yの時は一切考える必要が無いのでしょうか？
よろしければその部分もご回答願います。
宜しくお願いします。

回答No.1

kumipapa

対称式なので、（x ≦ y ではなくて） x ≧ y としてよい。√x + √y は x = y のときに最大ですね。そのときに任意の x について与式が成立するように a の最小値を求めると言うことです。