最小値と不等式の関係について

質問

x,y,zが任意の実数値をとるとき、不等式x+y+z≦a√(x^2 +y^2 + z^2)がつねに成立する。このとき定数aの最小値を求めよ。

まず方法のひとつとして必要条件と十分条件を別々に求める方法があると思うのですが、必要性で押す段階でx=y=z=1（２でも３でもいい）を代入しなければ求められないのですが、なぜx,y,zに同じ値を代入しなければならないのかよくわかりません。x+y+z≦a√(x^2 +y^2 + z^2)を変形したa≧(x+y+z)/√(x^2 +y^2 + z^2)の右辺が最大値を取るようにx,y,zに都合の良い値を代入しないと行けないのですが、なぜそれがx=y=z=1（２でも３でもいい）になるのでしょうか。

それと、シュワルツの不等式でとくと一気にx+y+z≦√3√(x^2 +y^2 + z^2) となりa=√3が求められるのですが果たしてこれが本当にaの最小値になるのか迷ってしまいます。もっと小さいaの値があるかもしれないと思うのですが、どう保証すればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.5

hitomura · ベストアンサー

うーむ、３次元図形は図に描いてみるということができないからわかりづらいのかなぁ…

＞　x+y+z=A
は平面に、しかもx軸、y軸、z軸との交点を線で結ぶと正三角形になる平面になります。
∵）x軸、y軸との交点と原点とで作られる三角形は直角をはさむ辺の長さがAの二等辺直角三角形、
　　y軸、z軸との交点と原点とで作られる三角形は直角をはさむ辺の長さがAの二等辺直角三角形、
　　z軸、x軸との交点と原点とで作られる三角形は直角をはさむ辺の長さがAの二等辺直角三角形、
　だからこれらは合同、したがって、(x軸との交点、y軸との交点)間の長さ=(y軸との交点、z軸との交点)間の長さ=(z軸との交点、x軸との交点)間の長さ

つぎに、
＞　√(x^2 +y^2 + z^2)
と言う式の値は原点と点(x,y,z)との距離になっています。

さて、平面x+y+z=A上の点で原点からの距離が最小になる点はどこかと言いますと、x=y=z(=A/3)となる点です。
∵）この点と原点とを結ぶ直線は平面x+y+z=Aと直交する。
　∵∵）直線に平行なベクトル(A/3,A/3,A/3)と平面に平行な独立した２ベクトルとが直交することを言えばよい。
　　平面とx軸、y軸との交点同士を結ぶ線に平行なベクトル(A,-A,0)と平面とx軸、z軸との交点同士を結ぶ線に平行なベクトル(A,0,-A)は上記の２ベクトルとなるが、これらとベクトル(A/3,A/3,A/3)との内積はいずれも(A/3)*A-(A/3)*A=0となり、２本とも直交することが分かる。
　したがって、x=y=zを満たさない点の原点からの距離は、この点とx=y=zとなる点および原点から作成される三角形：(x=y=zを満たさない点、原点)を斜辺とする直角三角形を考えることにより、x=y=zとなる点の原点からの距離よりも長くなる。

つまり、任意の(x,y,z)に対して、その原点からの距離は、3w=x+y+zとなる点(w,w,w)の原点からの距離よりも長くなります。w=(x+y+z)/3となりますから、
　√(x^2+y^2+z^2)≧√[(x+y+z)/3}^2+{(x+y+z)/3}^2+{(x+y+z)/3}^2]
　　　　　　　　　=√{(x+y+z)^2/3}
　　　　　　　　　=|x+y+z|/√3　　　　　　　　　　　・・・（＊）
となります。ここで、等号が成り立つのはx=y=zのときです。

ここで、
＞x+y+z≦a√(x^2+y^2+z^2)がつねに成立する
ようにaを設定しなければなりませんから、右辺の最小値よりも左辺が小さくなるようにaを設定しなくてはなりません。つまり、（＊）式から、
　x+y+z≦a*|x+y+z|/√3
となるようにしなくてはならず、a≧√3が出てきます。

お礼

hitomuraさんお答えくださってどうもありがとうございました。まさに「図形的」解法ですね。すばらしいです。脱帽でした！！このような解法もあるんですね。どうもありがとうございました。

回答No.4

zabuzaburo

ご質問の中に「必要条件・十分条件」という言葉が使われていますから、
それに合わせてこの問題を言い換えると、
「『すべての実数x,y,zに対して x + y + z ≦ a√(x^2 + y^2 + z^2)』(*)
が成立するために、実数aが満たすべき必要十分条件を答えよ」
となります。たまたま答が「a≧■」という形をしているので、
最小値(■)だけを聞いて来ているわけです。

不等式を「a ≧ (x + y + z)/√(x^2 + y^2 + z^2) 」と変形すると、
これがすべてのx,y,zで成立しないといけないわけですから、
特別な値を入れて得られた条件はみな(*)の必要条件ですね。
例えば(x,y,z) = (1,0,0)を入れると「a ≧ 1」であることが必要だと分かり、
今度は(x,y,z) = (1,1,0)を入れると「a ≧ √2」が必要と判明して範囲が絞られます。
ただ、無目的にこんなことを繰り返していても
十分性はいっこうに保証されません。
原理的にはあらゆる実数x,y,zを代入して、
そこから得られた「a≧●」という条件を
全て「かつ」で結んだもの(共通範囲)が
(*)の必要十分条件ということになります。
しかし、実数は無限にあるので、現実にはそんなことは不可能です。
そこで、もしも右辺に最大値を取らせるようなx,y,zの組があるならば、
その値を入れて「a≧●」という条件を得ておけば、
もはや他のx,y,zを試してみてもaの範囲はそれ以上せばまらない、
すなわち(*)の必要十分条件となる、ということを利用するわけです。

>必要性で押す段階でx=y=z=1（２でも３でもいい）を代入しなければ求められない

と書かれていますが、必要性で押す段階では何を代入しても構いません。
むしろ問題なのは、
「x = y = z = 1(2でも3でもいい)を入れたとき、
なぜ右辺が最大となる(したがって必要十分になる)のか？」
ということでしょう。
これに対する回答は既にいくつかなされていますが、
実は2つ目のご質問も結局は同じことです。
すなわち、
>どう保証すればよいのでしょうか。
という疑問に対する答が、そのまま上の問に対する答の一つになるわけです。

シュワルツ不等式を用いて得られたものを変形すると
「√3 ≧ (x + y + z)/√(x^2 + y^2 + z^2) 」(#)
となります。確かに、これと
「a ≧ (x + y + z)/√(x^2 + y^2 + z^2) 」
を見比べて「aの最小値は√3である」と結論するのは穴があります。
まず、(#)の等号が成立することが「ある」ということを
きちんと示さなければなりません。
シュワルツの不等式の等号成立条件を知っていれば、
この場合、x = y = z のときに、等号は確かに成り立つことが分かります。
したがって(#)の右辺の最大値は√3であることが分かります。
そして、「a ≧ (いろいろ動くが最大値は√3であるもの)」が常に成り立つためには、
a自身が「a ≧ √3」を満たせばよいことが分かります。

お礼

>>必要性で押す段階でx=y=z=1（２でも３でもいい）を代入しなければ求められない

と書かれていますが、必要性で押す段階では何を代入しても構いません。

ええ、少し言葉足らずでしたが、x=y=z=1じゃないと十分正の保証ができなくなるという意味で「求められない」と書きましたが、言葉の使い方がおかしいですね。ちょっと気をつけます。

どうもありがとうございました。シュワルツの不等式の等号成立条件をまるっきり忘れていました。これを示さないとダメですね。

回答No.3

tnt

ｘ＋ｙ＋ｚを一定値と仮定した時に
(x^2 +y^2 + z^2)が最小になる条件が
ｘ＝ｙ＝ｚだからです。

お礼

＞ｘ＋ｙ＋ｚを一定値と仮定した時に
(x^2 +y^2 + z^2)が最小になる条件が
ｘ＝ｙ＝ｚだからです。

そうなんですか。やっと理由がわかりました。
どうもありがとうございました！！！

回答No.2

Nickee

回答になっていないかもしれませんが。。。

x+y+z≦a√(x^2 +y^2 + z^2)
a≧(x+y+z)/√(x^2 +y^2 + z^2)

f(x)=(x+y+z)/√(x^2 +y^2 + z^2)とおくと、
この、関数について、極値をもとめると、
まず、xについて編微分をすると、
∂f(x)/∂x=(x+y+z)'×(1/√(x^2 +y^2 + z^2))+
　　　　　　(x+y+z)×(1/√(x^2 +y^2 + z^2))'
=(1/√(x^2 +y^2 + z^2))+
-x((x^2 +y^2 + z^2)^(-3/2))(x+y+z)
ここで、局値をもとめるためには、0になればいいので、
式を変形すると、x×(x+y+z)/(x^2 +y^2 + z^2)=1
y(x-y)+z(x-z)=0
で、x=y=zのときのみ、極値が存在するとなる。
y,zについても同様の答えになると思います。(計算してないから,わからない)

その極値の解はf(x)の中のy,zにxを代入すると、√3になります。aの最小値=f(x)の値なので、解は√3となる。

あと、これが、本当に最小値かどうかは、無限大にもっていくと、1に収束する????????

>a≧(x+y+z)/√(x^2 +y^2 + z^2)の右辺が最大値をとるように
ちょっと意味がわからないのですが、右辺を最大値ととるようにするのなら、今までの説明であっていると思うのですが、その極値は極大値となり、(これは2階微分して確かめないとわかりませんが)極限も1なので、意味はとおるのですが。。。

aの最小値を求めるのなら、a≧(x+y+z)/√(x^2 +y^2 + z^2)の右辺が最小値をとらなければならなく、右辺=aの時、aの最小値になるような気がするのですが。。

補足お願いします。

お礼

＞aの最小値を求めるのなら、a≧(x+y+z)/√(x^2 +y^2 + z^2)の右辺が最小値をとらなければならなく、右辺=aの時、aの最小値になるような気がするのですが。。

すいません、言葉足らずでした。問題文は「x,y,zが任意の実数値をとるとき、不等式x+y+z≦a√(x^2 +y^2 + z^2)がつねに成立する。」です。注目するのは「任意」という言葉です。上式を変形したa≧(x+y+z)/√(x^2 +y^2 + z^2)が任意のx,y,zについて常に成り立つということは右辺の最大値よりもaは大きい必要があります。ちょうど山と平面の板を考えればいいと思います。平面の板は左辺のaで山が右辺の≧(x+y+z)/√(x^2 +y^2 + z^2)です。山の頂上に板をおく絵を想像していただければわかると思います。

すいません、偉そうな口調で書いてしまいましたが、これは全て先生が仰ったことです(笑)お許しください。。。

回答No.1

hitomura

まず、両辺の形を見てみます。
　x+y+z=A
というのはどんな図形を表しているでしょう？また、
　√(x^2 +y^2 + z^2)
と言う式は原点と点(x,y,z)との間の何を求めているのでしょうか？
この答えが分かれば、
＞なぜx,y,zに同じ値を代入しなければならないのか
と言う質問の答えは自ずと出てきます。

あとは上で得た３次元上でのイメージを指針に数式を書けばa≧√3が出てきます。

お礼

hitomuraさんありがとうございます。

＞＞なぜx,y,zに同じ値を代入しなければならないのか
と言う質問の答えは自ずと出てきます。

すいません、わかりませんでした。図形的に考えると(x+y+z)/{√(x^2 +y^2 + z^2)}は単位ベクトルを表しているのでしょうか。すいません、本当にわかりませんでした。できれば答えを教えてください・・・。