地平座標で表現された二点A,Bの視角を求めたい

質問

のですが、どうしたらいいかわかりません。特に課題とか、与えられた問題では在りません。考えていて行き詰ってしました。

ある観察者中心の地平座標（方位角, 仰角)があるとして、ニ方向（というか天球上の二点）
A(az1, el1)
B(az2, el2)
この二方向が、観察者にとって、成す視角の大きさはいくらか？

この分野に詳しくなく、表現が（おそらく）いまいちですみません。azはazimuth, elはelevationのつもりで書きました。この記号でなくて、お好きな記号で結構です。長いこと考えていますが、解りそうで、いまいち、解けません。

解る方どうかお教えください。数学的解法でも、近似的解法でも、アルゴリズムでもweb pageでもなんでも結構です。どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

Nandayer

天文をやるからには球面三角法を覚えておいたほうが便利かもしれませんが、この問題に限っては高校数学で理解できる次のような方法があります。
　表記の都合上、ベクトルは横書きにします。
　原点を観察者、東方向をＸ軸、北方向をＹ軸、天頂方向をＺ軸方向とします。すると方位角 A の方向の単位ベクトルは、
　　　( cosA , sinA , 0 )
で表せます。天頂方向の単位ベクトルは、( 0 , 0 , 1 ) ですから、方位角 A ，仰角 E の方向の単位ベクトルは、
　　　cosE*( cosA , sinA , 0 ) + sinE*( 0 , 0 , 1 )
　　= ( cosE*cosA , cosE*sinA , sinE )
になります。
　方位角 A1 ，仰角 E1 の方向の単位ベクトル
　　　( cosE1*cosA1 , cosE1*sinA1 , sinE1 )
と、方位角 A2 ，仰角 E2 の方向の単位ベクトル
　　　( cosE2*cosA2 , cosE2*sinA2 , sinE2 )
のなす角αが、求める視角です。この２つのベクトルの内積をとって、
　　　cosα
　　= cosE1*cosA1*cosE2*cosA2 + cosE1*sinA1*cosE2*sinA2 + sinE1*sinE2
　　= cosE1*cosE2*(cosA1*cosA2 + sinA1*sinA2) + sinE1*sinE2
　　= cosE1*cosE2*cos(A1-A2) + sinE1*sinE2
となります。これは、
　　cosθ = sin (90°- θ)
　　sinθ = cos (90°- θ)
の関係を使えば、#1 さんの御回答と一致することがわかります。

お礼

ありがとうございます。こんなにすっきりかけるとは驚きました。

回答No.1

epicanthus

天頂を C とします。
球面三角形 ABC において，

CB＝a＝90°－el2
CA＝b＝90°－el1
C＝az2－az1

これを球面三角形の公式
cos(c)＝cos(a)*cos(b)＋sin(a)*sin(b)*cos(C)
に入れます。
c が2点 AB の角距離になります。

お礼

ありがとうございました。

補足

こんなにすっきりかけるとは驚きました。