水面が２m×２mで水深が100cmの水槽があります。
その底に断面積が30cm2 の穴があります。
この穴の流出係数が0.6としてこの穴から水が全部流出するまでの時間を出しなさい。流出速度は水深がｘのとき√2ｇｘ（ルート２ｇｘ）
この問題を積分で出せるのでしょうか
∫水の体積－∫流出体積×０．６ こんな感じでしょうか。
ハッキリ言ってまったく分かりません。
ご存知の方いましたらよろしくお願いします
投稿日時 - 2008-04-07 23:02:15
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回答（2件中 1～2件目)
底面がA、深さHの水槽に面積がaの穴があり、深さがxの時、
そこから水が流出速度f(x)で流れ出る、とします。
時刻t～t+dtの間に、水深がx～x-dxになるとすると
A・(x-dx)-A・x=（{f(x)+f(x-dx)}/2）・dt （1）
となります。
f(x)は時刻t、f(x-dx)は時刻t+dtにおけるそれぞれの流出速度です。
f(x-dx)=f(x)-{df(x)/dx}・dx ですから
（1） の右辺は
[{f(x)+f(x-dx)}/2]・dt=（[f(x)+f(x)-{df(x)/dx}・dx]/2）・dt
=f(x)・dt-[{df(x)/dx}/2]・dx・dt
これは二次の微分であるので考慮するに及ばない。
従って、
-A・dx=f(x)・dt
-dx/f(x)=dt/A
全ての水が流出するに要する時間をTとして
xをH～0、tを0～Tまで積分すると
-∫[H～0]dx/f(x)=∫[0～T]dt/A
f(x)=c・a√(2gx) ですから左辺は、
∫[0～H]dx/{c・a√(2gx)}={2/(c・a)}・{√(2gx)}|[0～H]
=√(2H/g)/(c・a)
右辺は
∫[0～T]dt/A=T/A
∴ √(2H/g)/(c・a)=T/A
T=A・√(2H/g)/(c・a)
これに数値を代入すると
T=2・2・√(2・1/0.98)/(0.6・0.0030)=3174.6
Tの単位は、m・m・[√{m・(sec^2/m)}]/m^2=sec ですから（秒）です。
結局、流出時間は、3174.6（秒） となります。
投稿日時 - 2008-04-09 20:38:57
