x^2=i

質問

ふとした疑問です。
x^2=i を解いたらどうなるか、、

私はx=±√i と思ったんですが、
√の中にiが残ることは解答としていいのでしょうか？
それとも式のたて方がおかしいのでしょうか？

回答No.2

phusike

x^2 = i を解いて、 x = ±√i とするのは、まあ間違ってはいませんが、
そもそも√iとは一体何なのかに全く触れていませんし、
x^2 = 4 を解いて、 x = ±√4 とするようなものです。

複素数の積について考察してみましょう。
z = x + iy は、極表示とよばれる z = r( cos θ + i sin θ ) という記法でも表せます。
ここで、もちろん x = r cos θ, y = r sin θ です。
z = r( cos α + i sin α ),
w = s( cos β + i sin β ) とおきますと、
zw = rs[ cos(α+β) + i sin(α+β) ]
となります。
加法定理を用いて実際に計算して確かめてみて下さい。

ここで、z = w の時、
z^2 = zw = r^2( cos 2α + i sin 2α ) です。
従って、 z^2 = r( cos θ + i sin θ ) を満たすとき、
z = √r[ cos(θ/2) + i sin(θ/2) ] と考えられます。

さて、 i = cos π ( 2n + 1/2 ) + i sin π ( 2n + 1/2 ) ですから、
z^2 = i の時 z = cos π ( n + 1/4 ) + i sin π ( n + 1/4 ) ですね。
通常用いる表記に直せば、 z = 1/√2 ± (1/√2) i です。

この辺りの議論は、複素平面を学べばよりすっきりと理解できます。

お礼

複素平面は一時期かじった程度で回転やらスカラー倍、
ベクトルっぽいなぁ程度の理解しかしておりません、、
オイラーの公式も加法定理を覚える手助けぐらいです。
全く初めて見るわけじゃないんですが、、
公式含め基本的なところからやり直そうと思います。
教えていただき、理解できただけによくよく考えると
自分の未熟さが恥ずかしい限りです。　
ありがとうございました。