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合成関数の微分法を使っているようですがわかりません
「一対一対応の演習・数学III(東京出版)」という問題集の138ページ ■6 定積分の不等式 (ロ) 0<t<1のとき、 ∫(0からt)e^(-x^2)dx>t*∫(0から1)e^(-x^2)dx が成り立つことを示せ。 という問題です。解答は f(t)=∫(0からt)e^(-x^2)dx-t*∫(0から1)e^(-x^2)dx f'(t)=e^(-t^2)-∫(0から1)e^(-x^2)dx よってf''(t)=-2te^(-t^2)<0 (0<x<1)であるから・・・ と続いていくのですが、 合成関数の微分法を使っているらしいことはわかるものの、 それ以外はまったくわかりません。 解説よろしくお願いします。
- eirik
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- R_Earl
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ANo.2です。 > それから > f(t)>0(0<t<1) > を証明するのだと思っていたのですが、 すみません。私の勘違いです。 何故か不等号が逆にしてしまいました。 本当に申し訳ありません。
- slimebess
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0<t<1 ⇒∫(0→t)e^(-x^2)dx>∫(0→1)e^(-x^2)dx Proof)(別解!?) ∫(0→t)e^(-x^2)dx で、変数変換x=tyをすると ∫(0→t)e^(-x^2)dx =∫(0→1)e^(-(t^2)y^2)tdy =t∫(0→1)e^(-(t^2)y^2)dy ここで 0<t<1 ⇒e^(-(t^2)y^2)>e^(-y^2) (任意のy∈(0,1)に対して) だから [∵ 0<t<1 ⇒t^2<1 ⇒(t^2)y^2>y^2(0<y<1) ⇒-(t^2)y^2>-y^2 ⇒e^(-(t^2)y^2)>e^(-y^2) ] t∫(0→1)e^(-(t^2)y^2)dy >t∫(0→1)e^(-y^2)dy =右辺
- okormazd
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ANo.1 です。 そうでしたね。 すぐ微分できてしまうので、考えなかった。 それが中心課題とも思わなかったし。 f'(t)=G'(t)-C = e^(-t^2)-C u=-t^2 とおくと、 f'(t) = e^(-t^2)-C = e^u-C f''(t) = d/dt(e^u-C) = (d/du)(e^u)(du/dt) = (e^u)(d/dt)(-t^2) = e^(-t^2)(-2t) = -2te^(-t^2) 一般に、 u=g(x) y = f(g(x)) = f(u) とすると、 y' = f'(x) = (dy/dx) = (d/du)f(u)(du/dx) = f'(u)(d/dx)g(x) = f'(u)・g'(x) というわけだが、 わかりやすくなるのかなあ。
- R_Earl
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もともとの式∫(0からt)e^(-x^2)dx>t*∫(0から1)e^(-x^2)dxの右辺を左辺に移項して ∫(0からt)e^(-x^2)dx-t*∫(0から1)e^(-x^2)dx < 0 と変形し、これが成り立つことを証明します。 ∫(0からt)e^(-x^2)dx-t*∫(0から1)e^(-x^2)dx < 0が正しければ もともとの式∫(0からt)e^(-x^2)dx>t*∫(0から1)e^(-x^2)dxも正しいですよね? で、何度も ∫(0からt)e^(-x^2)dx-t*∫(0から1)e^(-x^2)dx < 0 と書くのは面倒なので、この不等式の左辺をf(t)とおきます。 あとは0 < t < 1の範囲でのf(t)の増減を調べて、f(t) < 0であることを示します。 増減を調べるために微分しているんです。 > f'(t)=e^(-t^2)-∫(0から1)e^(-x^2)dx f(t) = ∫(0からt)e^(-x^2)dx-t*∫(0から1)e^(-x^2)dxから f'(t)を計算する時は次のように考えます。 ∫(0からt)e^(-x^2)dxは、tで微分するとe(-t^2)。 t*∫(0から1)e^(-x^2)dxに関しては、『∫(0から1)e^(-x^2)dx』が定数なので、 t*∫(0から1)e^(-x^2)dx = t * (定数) と考えられます。 t * (定数)をtで微分すると(定数)になるので、 (g(x) = 23xをxで微分するとg'(x) = 23になるのと同じです。) t*∫(0から1)e^(-x^2)dxをtで微分すると∫(0から1)e^(-x^2)dxになる。 よってf'(t) = e^(-t^2)-∫(0から1)e^(-x^2)dx 一回微分しただけだと、『∫(0から1)e^(-x^2)dx』という 計算できないもの(高校数学の範囲では)が混じってしまうので もう一回微分をすることにします。 > よってf''(t)=-2te^(-t^2)<0 (0<x<1)であるから・・・ f'(t) = e^(-t^2)-∫(0から1)e^(-x^2)dxを更にtで微分します。 e^(-t^2)をtで微分すると、合成関数の微分より-2te^(-t^2)。 ∫(0から1)e^(-x^2)dxは定数なので、微分したら0になります。 よってf''(t) = -2te^(-t^2)です。 このf''(t)についている-2tは(0 < t < 1)の範囲で負の数、 e^(-t^2)は正の数なので、f''(t)は0 < t < 1の範囲で負の数となります。 よってf''(t) < 0 (0 < t < 1)です。 つまりf'(t)は(0 < t < 1の範囲では)単調減少となります。 ついでに、f'(0) = 0なので(計算してみてください)、 f'(t)が単調減少ならf'(t)は0 < t < 1でマイナスの値をとることになります。 よってf'(t) < 0 (0 < t < 1)なので、f(t)は0 < t < 1の範囲で単調減少です。 f(0) = 0なので(計算してみてください)、 f(t)が単調減少ならf(t)は0 < t < 1でマイナスの値をとることになります。 よってf(t) < 0 (0 < t < 1)となります。 分からない部分があったら、教えてください。
- okormazd
- ベストアンサー率50% (1224/2412)
>よってf''(t)=-2te^(-t^2)<0 (0<x<1)であるから・・・ →よってf''(t)=-2te^(-t^2)<0 (0<t<1)であるから・・・? ∫e^(-x^2)dx=G(x) とすると、 ∫(0からt)e^(-x^2)dx=G(t)-G(0) また、 C=∫(0から1)e^(-x^2)dx (定数です) とすると、 f(t)=∫(0からt)e^(-x^2)dx-t*∫(0から1)e^(-x^2)dx =G(t)-G(0)-t*C f'(t)=G'(t)-C G'(x)=e^(-x^2) から G'(t)=e^(-t^2) よって、 f'(t)=G'(t)-C = e^(-t^2)-C f''(t)=-2te^(-t^2) 合成関数の微分法ではなさそう。
お礼
解答有り難うございます。 あと、ご指摘有り難うございました。 「よってf''(t)=-2te^(-t^2)<0 (0<x<1)であるから・・・」 ではなく 「よってf''(t)=-2te^(-t^2)<0 (0<t<1)であるから・・・」 でした。 f''(t)=-2te^(-t^2) のところは合成関数の微分法 を使っているのではないのですか ・・・? よく分かりません。教えてくだされば幸いです。
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