有限長ソレノイドコイルの磁場解析

質問

断面が一辺の長さdの正方形の銅線を密にまきつけて作った長さ2ｌ、内径2a、外径2b、のソレノイドコイルの中心軸上の磁場の大きさを求めたいのですが、うまくいかずに困っています。
ネット上で調べてみたのですが、一層の場合にしか触れられていませんのでここで質問したいと思います。過去ログにも似たような質問が散見されましたが、具体的な函数の導出に至っていなかったので改めてお願いしたいところです。
なお、私は大学の電磁気は学習済みです。
どなたかお願いします。

回答No.2

inara1

「電磁気は学習済みです」とのことですが、「長さ2ｌ、内径2a、外径2b」というところが課題っぽいです。

foobar さんの手順で計算した後の検算用に以下の結果を使ってください。
　　　H = N*I/{ 4*L*( b - a ) }*【 x*ln[ { b + √( b^2 + x^2 ) }/{ a + √( a^2 + x^2 ) } ] + ( 2*L - x )*ln〔 [ b + √{ b^2 + ( 2*L - x )^2 } ]/[ a + √{ a^2 + ( 2*L - x )^2 } ] 〕】
長さの l は 1 と混同しやすいので 2*L と表記しました。距離 x は、以下のようにコイル端からの距離です。N は全体の巻き数ですが、コイルの中心軸に沿って切った断面積が 2*( b - a )*L、線の断面積が d^2 なので、N = 2*( b - a )*L/d^2 となります（ b- a と L が d の整数倍の場合）。

　 r
　　↑
　　b：：：：：：：：：：
　　a：：：：：：：：：：
　　│
　　└────┴──→ x
　　0　　　　　　 2L

【ヒント】
　　　 r
　　　↑
　　 b┝━━━━━━┓
　　　│　　・Q　　　　　 ┃
　　 a┝━━━━━━┛
　　　│　　　　　　P
　　　└──── ・─┴──→ x
　　　 0　　　　　　 x　 2L

コイルの中心軸に沿って切った断面（上図）の中の点 Q（ x0, r ） にある微小面積 dx0*dr を考えます（ x0 は x成分ですが x と区別するため x0 とします）。微小面積とコイルの断面積の比は dx0*dr/{ 2*L*( b - a ) } なので、微小面積を流れる電流 dI は、全体の電流 N*I に面積比をかけたもので
　　　dI = N*I*dx0*dr/{ 2*L*( b - a ) }
となります。
この微小面積を断面積とする単コイルから x軸上の点 P( x, 0 ) に発生する磁界 dH は
　　　dH = dI*r^2/[ 2*{ r^2 + ( x- x0 )^2 }^(3/2) --- (1)
　　　　　 = N*I*r^2*dx0*dr/[ 4*L*( b - a )*{ r^2 + ( x- x0 )^2 }^(3/2) ]
です。これを r = a ～ b、x0 = 0 ～ 2*L で積分すれば冒頭の式となるはずです。1/{ r^2 + ( x - x0 )^2 }^(3/2) の積分は x - x0 = r*tanθ と置換します。

補足

回答ありがとうございます。
いくらか疑問点があります。
まず、コイル巻き線方向の微小成分dsの考察が無いこと。
次に置換ですが、置換先の変数に、rが含まれているため、ヤコビアンの考察が必要になりますが、この一式だけでは新たな領域Dが一意には定まらないことです。
最後にこの導出したｄHの式ですが、別の方法で積分したところ、
アークタンジェントの項が出てきました。手元にある専門書によると、提示していただいた解答は（いくらか誤記がありますが）あっていることが確認されていますので、おそらくはｄHの式が間違っているものと推測されます。