任意の集合の中に、算法は定義可能ですか？

質問

群の公理は、集合の中に算法が定義されていることを前提にしていますが、任意の集合の中に、算法を定義することは可能でしょうか?

回答No.4

nsaf

任意の集合Aに、群の公理を満たす算法を定義してみます。
1)集合Aが空集合ならば、単位元が存在のところでの∃の解釈による。算法が群の公理を満たすとしてもそれは自明なものにしかならない。

2)集合Aが有限で、その位数がnとする。
nを法とする剰余群Z/(n)は位数nであるから、AからZ/nへの全単射fが存在する。
Aにおける算法は、Z/(n)における算法をfで引き戻す。
すなわち、a,b∈Aなら
a・b=f^{-1}(f(a)+f(b))
として定義する。これは群の公理を満たします。

3)集合Aが無限集合、その濃度をkとします。
群構造の公理系は一階述語論理式からなり、可算無限個の元からなるモデルをもつ(たとえば整数の加法群Z)から、
Löwenheim-Skolem theorem
より、任意の無限濃度に対し群のモデルが存在する。
よって、濃度kに対する群のモデルMをとれる。
MとAの濃度が等しい事より全単射fが存在し、Aの算法をMの算法をfで
引き戻して定義できる。
すなわち、a,b∈Aなら
a・b=f^{-1}(f(a)+f(b))
として定義する。

3)の証明はモデル論の結果を使いました。
普通に数学やる分には縁のない世界ですね。

お礼

モデル論は知りませんが、教えてくれてありがとうございます。

回答No.3

kabaokaba

集合X上の「算法」，この場合は二項演算でしょうが，これは
直積X x XからXへの写像に過ぎません．
そして，任意の集合から直積は定義できますし，
直積には「射影」が存在します．
だから，全く意味はないに等しいけれども
射影として演算を定義すれば
最低限二つは「演算」があったりします．

お礼

教えてくれてありがとうございます。

回答No.2

zk43

nを任意の自然数とすると、Z/nZは加法に関して群をなすので、n個の
要素を持つ集合ならば、Z/nZと1対1の対応をつけて、Z/nZと同型となる
ような演算を定義できると思います。
無限集合でも、同じ濃度の群（ZとかQとか・・・)と1対1の対応をつけ
て、同型になる演算を定義できると思います。
集合Sと、群Gが写像ｆ：S→Gによって1対1に対応していて、a,b∈S
に対してabとf(a)f(b)がfによって対応している（f(ab)=f(a)f(b)）
ならば、SとGでは演算の規則が同じということで、群の構造が同じ、
すなわち、群同型ということです。

{0,1}∪{x|x>3}とか、変な集合では分かりませんけど・・・
とにかく、どんな集合にもなにがしかの演算は定義できますが、群の構
造を持つように定義できる集合はある程度限られてくると思います。
いろいろと「変態的な」集合を考えられますが、数学的には意味のない
ものかも知れません。

演算では、集合の要素が何を表しているかは問題ではなく、単に、２つ
の要素に、別の要素を対応させる規則なので、さまざまな演算が考えら
れると思います。その中で、群の構造を持つものとか、数学的に意味が
あると考えられるものを考えるのでしょう。

お礼

教えてくれてありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

(空集合でなければ) 任意の集合でその要素間に演算を「定義する」ことは可能です. 演算に意味があるかどうかは別の話.

お礼

教えてくれてありがとうございます。