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合同式
受験勉強で合同式を使い始め、とても便利だと思っているのですが、良く分からない点があるので教えてください。 1 modはなんでもいいとして、m^5-m≡0⇔m^5≡mと変形できるのでしょうか。つまり「移項」は出来るのでしょうか。２つ合同式があって辺辺を足したり、引いたりする事、両辺に同じものをかけることが出来ることは習いましたが、移項は出来ないと思います。 上の変形の場合は両辺に-1をかけて、辺辺を足せば成立するので正しいと思いますが、移項という考えは成立するのでしょうか。 2 大学受験レベルで、mod5として、3≡-2と言うのはいちいち記述すべきでしょうか。 よろしく御願いします。
- suugaku111
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質問者が選んだベストアンサー
移項は、もちろん出来るし、 移項については、mod がなんでもいいです。 ひとつ気をつけておくのは、質問者さん自身 ＞辺辺を足したり、引いたりする事、両辺に同じものをかけることが出来る と書いておられる通り、足す引く掛けるは自由だけれども、 割り算には注意が要るということです。 mod n の n が素数ならば、あまり気にせず、普通の実数の計算と同じように 割り算が出来るのですが、n が合成数だと、困ったことが起こります。 例えば、2 x≡4 (mod 6) を x≡2 と変形すると、解 x≡5 が失われてしまいます。 両辺を 2 で割ることが出来なかった理由は、何だと思いますか？ ＞大学受験レベルで 受験の答案には、x≡y (mod n) は使わず、x＝y + k n (kは整数) と書いて おいたほうが無難だと思います。頭の中では、≡で計算したとしても。
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- zk43
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移項は視覚的には項が移るように見えますが、等号の両辺に同じものを 加える、引くという操作のことです。 A=Bの両辺にCを足すと、A+C=B+Cですが、C=-BのときはA-B=0となって、 Bが左辺に移るように見えるのです。 mod5として3≡-2というのは、一般的には3≡-2（mod 5）と書きます。 文脈からmod5が明らかなときは略すこともあるかと思いますが、頭で 以下mod 5で考える、と断りを入れておいた方が良いと思います。
お礼
皆さんどうもありがとうございました。大体の考え方は理解することが出来ました。特に移項については参考になりました。
- Tacosan
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合同式の前に, 普通の等式で「なぜ移項できるのか」は考えたことありますか? 「移項」というのは「辺々加える」という操作の (一方の辺の特定の項が他方に符号を変えて現れるという) 特殊な場合ですから, 「辺々加える」ことができれば移項できます.
- age_momo
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>２つ合同式があって辺辺を足したり、引いたりする事、両辺に同じものをかけることが出来ることは習いましたが、 >移項は出来ないと思います。 なぜこういう疑問が出てくるのでしょうか？ a≡b (mod k) m≡m (mod k) 辺辺を加減すれば a±m≡b±m (mod k) ですね。要は同じ数字(変数)を加減できますから、移項できます。 >大学受験レベルで、mod5として、3≡-2と言うのはいちいち記述すべきでしょうか。 一々記述するべきです。試験での記述で例えば(x-1)^2=0で止めないでしょう？ 分かりきっていてもx=1まで書くもんです。
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