同値関係とは？

質問

• 同値関係とは、反射律、対称律、推移律を満たす関係のことを指します。
• 例えば、同じクラスや同じ血液型などの身の回りの自然な例が挙げられます。
• また、同値関係についての具体的な例としては、(a)身の回りの自然な例、(b)A1が成り立つがA2,A3は成り立たない例、(c)A2が成り立つがA1,A3は成り立たない例、(d)A3が成り立つがA1,A2は成り立たない例、(e)A1,A2が成り立つがA3は成り立たない例、(f)A1,A3が成り立つがA2は成り立たない例、(g)A2,A3が成り立つがA1は成り立たない例があります。

回答No.4

jlglg · ベストアンサー

集合Xにおいて、R⊂X^2が次のA1,A2,A3を満たすとき、RはX上の同値関係という。
A1：（反射律）∀x∈X,(x,x)∈R
A2：（対称律）∀x∈X,∀y∈X,[(x,y)∈R→(y,x)∈R]
A3：（推移律）∀x∈X,∀y∈X,∀z∈X,[(x,y)∈Rかつ(y,z)∈R→(x,z)∈R]

(a)身の回りの自然な例で、同値関係となるもの
R={(x,y)∈年齢^2|0≦x,y≦99,xとyの10の位が同じ}
(b)A1は成り立つが、A2,A3は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|y-x=0,1}
(c)A2は成り立つが、A1,A3は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|y-x=-1,1}
(d)A3は成り立つが、A1,A2は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|y-x=1,2,3,4,5,…}
(e)A1,A2は成り立つが、A3は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|y-x=-1,0,1}
(f)A1,A3は成り立つが、A2は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|y-x=0,1,2,3,4,5,…}
(g)A2,A3は成り立つが、A1は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|x≠1かつy≠1}

お礼

細かく書いていただいて、ありがとうございました。
うちの学部は専門は文系なのに、いじわるな先生が
いたもんです・・・。

もう少し考えてみます！