同値関係

質問

同値関係である条件は次のA1～A3を満たすことです。
A1：（反射律）∀xR(x,x)
A2：（対象律）∀x∀y[R(x,y)→R(x,y)]
A3：（推移律）∀x∀y∀z[(R(x,y)ΛR(y,z))→R(x,z)]

(a)～(g)を例をあげてください。
お願いします(/_;)

(a)身の回りの自然な例で、同値関係となるもの
（これは、「同じクラス」とか「同じ血液型」があてはまりますよね？）
(b)A1は成り立つが、A2,A3は成り立たない例
(c)A2は成り立つが、A1,A3は成り立たない例
(d)A3は成り立つが、A1,A2は成り立たない例
(e)A1,A2は成り立つが、A3は成り立たない例
(f)A1,A3は成り立つが、A2は成り立たない例
(g)A2,A3は成り立つが、A1は成り立たない例

できれば分かりやすい例で言っていただけると、ありがたいです。
おねがいします(>_<)

回答No.4

jlglg · ベストアンサー

集合Xにおいて、R⊂X^2が次のA1,A2,A3を満たすとき、RはX上の同値関係という。
A1：（反射律）∀x∈X,(x,x)∈R
A2：（対称律）∀x∈X,∀y∈X,[(x,y)∈R→(y,x)∈R]
A3：（推移律）∀x∈X,∀y∈X,∀z∈X,[(x,y)∈Rかつ(y,z)∈R→(x,z)∈R]

(a)身の回りの自然な例で、同値関係となるもの
R={(x,y)∈年齢^2|0≦x,y≦99,xとyの10の位が同じ}
(b)A1は成り立つが、A2,A3は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|y-x=0,1}
(c)A2は成り立つが、A1,A3は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|y-x=-1,1}
(d)A3は成り立つが、A1,A2は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|y-x=1,2,3,4,5,…}
(e)A1,A2は成り立つが、A3は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|y-x=-1,0,1}
(f)A1,A3は成り立つが、A2は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|y-x=0,1,2,3,4,5,…}
(g)A2,A3は成り立つが、A1は成り立たない例
R={(x,y)∈N^2|x≠1かつy≠1}

お礼

細かく書いていただいて、ありがとうございました。
うちの学部は専門は文系なのに、いじわるな先生が
いたもんです・・・。

もう少し考えてみます！

回答No.3

jlglg

(a)R(x,y)={(x,y)∈年齢^2|xは10代、yは10代}

お礼

(b)ｘ－ｙ＜１
(c)ｘｙ≦０
(d)ｘ＜ｙ
(e)｜ｘ－ｙ｜＜１
(f)ｘ≦ｙ
(g)ｘｙ＞０

これがシンプルな回答だと思います。
どうでしょうか？

回答No.2

koko_u_

こういう簡単な問題はきっと大学初学年だろうなあ。
せっかく定義について生徒に考察してもらおうと問題を出したのに台無しです。

お礼

簡単な問題なんですね！

うちの学部は文系なので、
数Bまでしか必要じゃないんです。
（私大だと数学はいらないようですが・・・
あ、昔の人からしてみると、数Bが新課程で
どの内容なのか知らないんですね（笑））

定義については先生から提示されていたので、
考察してもらおうという考えではないと思います。

回答No.1

suzukikun

Ａ２の定義、違うし、（ａ）で挙げている例もよくわからないけど、割り算は（ｆ）じゃね？
行列のかけ算なんかも（ｆ）だけど。

お礼

定義は間違っているんですか？
これは先生が定義したものなのでなんとも・・・
(a)の例はどこのサイトでも載っていたものなので、
あっていると思います。

ちなみに割り算も(a)のようです。
ありがとうございました。