群の３つの定義（公理）は独立（群論の初歩の初歩なのにどこにも書かれていない）

質問

空でない集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が群であるとは、
１.（結合法則）任意の G の元 g, h, k に対して、μ(g, μ(h, k)) = μ(μ(g, h), k) を満たす。
２.（単位元の存在）μ(g, e) = μ(e, g) = g を G のどんな元 g に対しても満たすような元 e が G のなかに存在する（存在すれば一意である）。これを G の単位元という。
３.（逆元の存在）G のどんな元 g に対しても、μ(g, x) = μ(x, g) = e となるような G の元 x が存在する（存在すれば一意である）。これを g の G における逆元といい、しばしば g^(-1) で表される。

この３つの定義（公理）が独立であることを考えたいです。
つまり、余分なものがないという意味です。
つまり、例えば、条件２．３を使って条件１が証明されるということはありえないということです。

そして、例えば、条件１が条件２．３と独立であることを言うためには、
「条件２．３を満たし、条件１を満たさないような具体例（反例）」
をあげればいいと思います。

でも、どのような具体例（反例）をあげればよいか思いつきません。

条件１、条件２、条件３がそれぞれ独立であることはどのような具体例（反例）で示されるのでしょうか？

回答No.3

PRFRD · ベストアンサー

1 だけ満たされる例（半群）：
　G = 正整数，μ(x,y) = x+y

1,2 だけ満たされる例（モノイド）：
　G = 非負整数，μ(x,y) = x+y

1,2,3 だけ満たされる例（群）
　G = 整数，μ(x,y) = x+y

2 だけ満たされる例（ループ）：
　G = {e,a,b}
　μ: ae = ea = a, be = eb = b,
　　　aa = b, ab = b, ba = b, bb = a
　（ (ab)b = bb = a ≠ b = aa = a(bb) ）

2,3 だけ満たされる例（擬群）：
　G = 非負整数，μ(x,y) = |x-y|

ループだけ簡単＆直感的な例が浮かびませんでした．

>>No2
普通の八元数体に逆元が存在します（普通は八元数体は実係数なので）．
整数係数などにして八元数環にすれば OK です．

お礼

丁寧に読ませていただきました。
納得です。
ありがとうございます。

定義（公理）の独立性（？）ということについて、大学一年生で習うベクトル空間の定義の独立性ということにも関心があります。
今から新しく質問させていただきたいと思いますので、もしよろしければそちらにもお願いいたします。

回答No.4

kabaokaba

No.2です

No.3さん
>普通の八元数体に逆元が存在します（普通は八元数体は実係数なので）．

うお・・・そうだ(-_-;寝ぼけてた
自分で「体」っていってるじゃん（結合則がアウトな「体」って）
ご指摘感謝．整数係数ということで．

回答No.2

kabaokaba

そもそも「半群」をご承知ですか？
二項演算が定義され，結合則だけが満たされる構造を
半群という．
半群であり，群ではない例は簡単に作れます．

例：任意の整数a,bに対してa*b=0とする
このとき，整数は*に関して半群である．
例：n次の正方行列全体の集合は通常の積で半群

＃なお，逆元・単位元の存在の中に「存在すれば一意」というのは
＃普通はいれません．これは定理です．

ついでに，乗法単位元が存在し，
結合則が成立せず，乗法逆元が存在しない例として有名なのは
ケーリー代数です．いわゆる八元数体
（本当は体じゃないんだけど，こう呼ばれる）．

乗法単位元が存在し，結合則が成立して，
乗法逆元が存在しない例なんかは山ほどあります．

ということで，乗法逆元が存在するという仮定が
いかに強いかということを理解しましょう．

お礼

丁寧に読ませていただきました。
納得です。
ありがとうございます。

定義（公理）の独立性（？）ということについて、大学一年生で習うベクトル空間の定義の独立性ということにも関心があります。
今から新しく質問させていただきたいと思いますので、もしよろしければそちらにもお願いいたします。

回答No.1

koko_u_

条件３は単位元の存在が前提となっているので、条件１と条件３が成立して、条件２が成立しない例というのは考えにくいですね。
そのくらいまでは考えましたか？

お礼

丁寧に読ませていただきました。
納得です。
ありがとうございます。

定義（公理）の独立性（？）ということについて、大学一年生で習うベクトル空間の定義の独立性ということにも関心があります。
今から新しく質問させていただきたいと思いますので、もしよろしければそちらにもお願いいたします。