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初歩的な群の公理について
群の公理を導出する問題で悩んでいます。 『群の公理に、 公理(１) 元の積が結合律を満たす。 公理(２) 集合Gの任意の元a,bに対して、ax＝b,およびya＝bとなるGの元x,yが存在して一意的である。 というのがあるが、いま、公理(２)を分解して、 公理(２‐１) Gの中に単位元が存在する。(eは単位元で次が成立。ae＝ea＝a) 公理(２‐２) Gの任意の元に対し逆元が存在する。(xは逆元で次が成立。ax＝xa＝e) とした時、公理(１)、(２‐１)、(２‐２)から公理(２)を導け』という問題について考えています。 これは、公理(２‐２)の式、ax＝eについて右からbをかけて、 axb＝b ここで xb＝X とすると aX＝b (ya＝bも同様にして)となり、公理(２)が導けたように思うのですが…でもこれだと公理(１)を用いておらず問題の意図に反している気がしてなりません。 私の考え方で誤っている点をご指摘していただきたいです。
- skizzzzzik
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aY＝bをみたすYがあれば、左からaの逆元xをかけて x(aY)＝(xa)Y＝eY＝Y＝xb＝X となりますから一意性も示されます。
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- Jyaikosan
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＞ax＝eについて右からbをかけて、 左辺をいきなりaxb＝bとしないで (ax)b＝b としておいてから公理(１)を使って (ax)b＝a(xb)＝b としたら良いのではないかと思います。
お礼
なるほど、そのように表記したほうが公理をつかっていることが明瞭ですね。 問題に沿っていないのではないかというモヤモヤがとれました。 ありがとうございます。
補足
私の捉え方で間違ってはいないということでしょうか。 ですが私の考え方では、一意性の証明には足りていないのではないでしょうか？ ご指摘お願いします。
- proto
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＞公理(２‐２)の式、ax＝eについて右からbをかけて、 ＞axb＝b 省略されていますが、右辺の変形において axb = eb = b は、(2-1)がなければ言えないのでは？
お礼
そうですね、(２‐１)も用いていますね。何気なく考えていました(汗)。 迅速なご指摘ありがとうございます！
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