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微分で混乱
数IIIの微分において混乱しています。 f(x)＝|X|が微分可能かどうかについて 私は極限lim(X→0)|X|=0(左右とも)だから微分可能なのではないか、 と考えたのですが、他のサイトで質問したところ、 微分可能かどうかを判定する極限は、これではなく、 lim(h→0){(|X+h|-|X|)/h}です。この極限は、右極限が1,左極限が-1ゆえ値を持ちません。 よって、微分可能ではないわけです。 という回答を頂きました。 私はこの2つの式の違いが分からないのです。 頭弱いので分かりやすくどうか教えてください。 ＞＜
- math_tech
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- BookerL
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＞極限lim(X→0)|X|=0(左右とも)だから微分可能なのではないか これはこの関数が 「ｘ＝０ で連続である」の確認ですね。 （厳密には lim(x→+0)f(x)=lim(x→-0)f(x) であることに加えて、それが f(0) に等しければ連続） 関数が連続でも、微分可能とは限りません。 微分可能であるためには、「左微分係数」と「右微分係数」が存在してそれらが一致することです。 http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node22.html 連続であって微分可能でない例が、例えば f(x)=|x| なのです。 なお、イメージとしては、微分可能でない関数は「とんがって」います。 http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/bibunkanou/bibunkanou.htm
- sanori
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こんばんは。 ご質問文にある lim(X→0)|X|=0 という式は、この関数がｘ＝０において連続であるということには関係しますが、ｘ＝０で微分可能かどうかの判定には不適です。 この関数のグラフを描くと、 ｘが負のときは傾きが常に－１ ｘが正のときは傾きが常に１ です。 ｘがマイナスの領域から、ｘ＝０に近づく、 つまり、ｘが－１万のところから右へ－１０００、－１００、－１０、－１、－０．１、－０．０１・・・というふうにｘ＝０の地点へ近づくとすると、 ｘが負のときは傾きが常に－１ なのですから、マイナス側からの傾き（の極限）は－１です。 式で書けば、（Ｘが負のとき｜Ｘ｜＝－Ｘ なので） lim(h→-0)｛（|Ｘ＋ｈ|－|Ｘ|）／ｈ｝ ＝ lim(h→-0)｛（－（Ｘ＋ｈ）－（－Ｘ））／ｈ｝ ＝ lim(h→-0)｛（－ｈ）／ｈ｝ ＝ －１ です。 ｘがプラスの領域からｘ＝０に近づく、 つまり、ｘが１万のところから左へ１０００、１００、１０、１、０．１、０．０１・・・というふうにｘの地点へ近づくとすると、 ｘが正のときは傾きが常に１なのですから、プラス側からの傾き（の極限）は１です。 式で書けば、（Ｘが正のとき｜Ｘ｜＝Ｘ なので） lim(h→+0)｛（|Ｘ＋ｈ|－|Ｘ|）／ｈ｝ ＝ lim(h→+0)｛（Ｘ＋ｈ）－Ｘ）｝／ｈ｝ ＝ lim(h→+0)｛ｈ／ｈ｝ ＝ １ です。 なお、上記では、｜ｘ＋ｈ｜がｘが負の領域とｘが正の領域でそれぞれ正であるか負であるかの説明を省きましたが、 ｈの絶対値が十分小さいとして式を立てています。
お礼
分かり易く書いて頂きありがとうございます！
- Tacosan
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「微分」の定義を確認すること.
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お礼
ありがとうございます！