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微分の問題です
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基本は lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x) この形に持っていくこと。文字が変わったり、xに数字が入ってもよし。 (1) lim[h→0]{f(x+2h)-f(x)}/sinh これは上の式でhの変わりに2hが入ったものに変形します。 lim[h→0]{f(x+2h)-f(x)}/sinh=lim[h→0][{f(x+2h)-f(x)}/(2h)](2h/sinh) このような積の式の極限はそれぞれの極限の積に置き換える。 (与式)=[lim[h→0]{f(x+2h)-f(x)}/(2h)][lim[h→0]2h/sinh] 一つ目の極限はf'(x),二つ目の式は教科書にも書いてある極限の式lim[h→0]sinh/h=1を使います。 (2) 冒頭に挙げた式において、"x"を"0"にかえ、hの代わりに"x"を入れた式を考えると lim[x→0]{f(0+x)-f(0)}/x=lim[x→0]{f(x)-f(0)}/x=f'(0) となります。このような形に変形できれば良いのですが、ぱっと見どこにもf(0)などない。 そこで強引にf(0)を登場させます。 lim[x→0]{f(2x)-f(-x)}/x=lim[x→0]{f(2x)-f(0)+f(0)-f(-x)}/x =lim[x→0]{f(2x)-f(0)}/x-lim[x→0]{f(-x)-f(0)}/x 前の項については分母が2xになるように変形、後ろの項は分母が-xになるように変形すればよい。 (与式)=[lim[x→0]{f(2x)-f(0)}/(2x)]*2-[lim[x→0]{f(-x)-f(0)}/(-x)]*(-1) これでそれそれからf'(0)の式が得られます。
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- IveQA
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(1)分母分子に2hを掛けてみたら。 微分の定義式と極限の公式を利用。 (2)分子に-f(0)+f(0)を加えてみたら。 f(2x)=f(0+2x),f(-x)=f(0-x)とみることがポイント！
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お礼
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