微分可能

質問

f(x)=ax^2+bx-2 (x>=1)，x^3+(1-a)x^2 (x<1)
がx=1で微分可能になるようにa,bを定める問題です。

微分して
f'(x)=2ax+b (x>1)，3x^2+2(1-a)x (x<1)
とし、
lim_{x→1-0}f(x)=lim_{x→1+0}f(x)
lim_{x→1-0}f'(x)=lim_{x→1+0}f'(x)
から連立方程式を導き求めたのですが問題ないでしょうか。解答では定義にしたがってf'(x)の右極限と左極限を計算しているものですから。
よろしくお願いします。

回答No.4

shkwta · ベストアンサー

まず、つぎの定理を証明します。
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区間I: a＜x＜b　で連続微分可能なxの任意の関数 g(x), h(x)と、Iに属する任意の実数cについて、次の関数 f(x):

　f(x)=g(x), a＜x＜c
　f(x)=h(x), c≦x＜b

がIで微分可能であるための必要十分条件は、

　g(c)=h(c) かつ g'(c)=h'(c) (g', h' はそれぞれ g, h の導関数）

である。また、このときf(x)は連続微分可能である。
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証明
(1)f(x)が微分可能なら連続であるから g(c)=h(c)。
(2)f(x)が微分可能なら, g(c)=h(c)=f(c)であるから、
　　g'(c)=lim[x→c-0](g(x)-g(c))/(x-c)
　=lim[x→c-0](f(x)-f(c))/(x-c)
　=lim[x→c+0](f(x)-f(c))/(x-c)
　=lim[x→c+0](h(x)-h(c))/(x-c) = h'(c)
　　したがって、g'(c)=h'(c)
(3)g(c)=h(c) かつ g'(c)=h'(c)であれば、f(c)=g(c)=h(c)であるから、
　　lim[x→c-0](f(x)-f(c))/(x-c)
　=lim[x→c-0](g(x)-g(c))/(x-c) = g'(c) = h'(c)
　=lim[x→c+0](h(x)-h(c))/(x-c)
　=lim[x→c+0](f(x)-f(c))/(x-c)
　　したがって、f(x)はx=cで微分可能。
(4)g(x), h(x)は微分可能であるから、x≠c のとき f(x)は微分可能。
以上で必要十分条件であることが示せた。（証明終）
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ということで、

g(x)=x^3+(1-a)x^2, h(x)=ax^2+bx-2
とおいて、
f(x)=g(x) (x＜1), f(x)=h(x) (x≧1)
であるf(x)が微分可能であるための必要十分条件は、

g(1)=h(1)
g'(1)=h'(1)

となり、この連立方程式を解けば答が出ます。
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＞lim_{x→1-0}f(x)=lim_{x→1+0}f(x)
＞lim_{x→1-0}f'(x)=lim_{x→1+0}f'(x)
このように、f(x)をそのまま使ってf '(x)の存在を前提とした計算をしていると、論理がおかしいと指摘される恐れ（fが微分可能かどうかはこの段階ではまだわからない）があるので、上に書いたようにg(x),h(x)という記号に変えれば問題ないと思います。
答案にlimは必要ないし、また、微分の定義にまで戻る必要はないと思います。

ただし、問題の意図として、上の定理を前提としてはいけない状況であれば、定義に戻らないといけないかもしれません。
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No.2様の指摘にある連続微分可能と微分可能の違いですが、f(x)がx=cで微分可能であるとは

　f '[-](c)=lim[x→c-0](f(x)-f(c))/(x-c)
　f '[+](c)=lim[x→c+0](f(x)-f(c))/(x-c)
が存在して、f '[-](c)=f '[+](c)である

という定義です。連続微分可能とは、微分可能でかつ導関数が連続であることです。f(x)がx=cで連続微分可能の条件は、微分可能に加えて、
lim[x→c+0]f '(x) = lim[x→c-0]f '(x) = f '(c)
です。

なにか疑問点があれば補足してください。

補足

詳しい解説ありがとうございました。

>ただし、問題の意図として、上の定理を前提としてはいけない状況であれば、定義に戻らないといけないかもしれません。

問題はチャート式数IIICの例題なのですが、チャートには紹介していただいた定理は載っていませんでした。入試等で自明な定理として使ってしまってもよいものなのでしょうか。

回答No.6

shkwta

No.4の補足への回答です。

（解答1）
g(x)=x^3+(1-a)x^2 , h(x)=ax^2+bx-2 とおく。
f(x)=g(x) (x＜1), f(x)=h(x) (x≧1)
f(x)はx=1で連続　⇔ g(1)=h(1)
f(x)はx=1で微分可能
⇔lim[x→1-0](f(x)-f(1))/(x-1) = lim[x→1+0](f(x)-f(1))/(x-1)
⇔lim[x→1-0](g(x)-g(1))/(x-1) = lim[x→1+0](h(x)-h(1))/(x-1)
⇔g'(1)=h'(1)
（以下省略）

（解答2）
g(x)=x^3+(1-a)x^2 , h(x)=ax^2+bx-2 とおく。
f(x)=g(x) (x＜1), f(x)=h(x) (x≧1)
f(x)はx=1で連続 ⇔ g(1)=h(1)
f(x)はx=1で微分可能 ⇔ g'(1)=h'(1)
（以下省略）

大学入試で、解答1なら○だが解答2では×なのでは？という話ですね。申し訳ないが、わかりません。解答2で十分だと思いますが、「思う」ではダメですね。そこは出題者が決めることですから。

次の掲示板で、この問題の解答をどう書くかについての議論があります。非常に面白かったのですが、受験生の立場から言えば「結局、どうしろっていうんだよ！！」という感じかもしれません。

http://rforum.rakuten.co.jp/?act=cattop&s=0&cid=100081
一番下の「バックナンバー」からたどっていってください。現在は11(次のURL)にあります。
http://rforum.rakuten.co.jp/?act=cattop&s=0&cid=100081&p=11
ここの「微分係数の話 (2004/08/13 23:56)」から始まる議論をご覧ください。

参考URL：

http://rforum.rakuten.co.jp/?act=cattop&s=0&cid=100081

お礼

ありがとうございました。参考URLはゆっくり読んでみたいと思います。

回答No.5

shkwta

No.4です。訂正します。
No.4で、最初のブロックにある２つの「連続微分可能」を単なる「微分可能」に訂正してください。

回答No.3

shkwta

解答をどう書くべきかは、出題の意図によって異なるように思います。
少し考えさせてください。

回答No.2

waseda2003

結論から言えば，「解答」の方が正しいです。というのは，

> lim_{x→1-0}f '(x)=lim_{x→1+0}f '(x)

はf(x)がx=1において連続微分可能（導関数が連続）であることを表し，題意と必要十分でない（微分可能より強い条件を前提としている）からです。

ただ，g(x)=x^3+(1-a)x^2 (x<1)，h(x)=ax^2+bx-2 (x≧1) とおくと，
　　lim_{x→1-0} {g(x)-g(1)}/(x-1) = g'(1)
　　lim_{x→1+0} {h(x)-h(1)}/(x-1) = h'(1)
となるので計算結果は同じになりますが。

最後の答が合うだけでは正解とはならない典型例です。

お礼

lim_{x→1-0}f '(x)=lim_{x→1+0}f '(x)

が存在することはf '(x)がx=1で連続だということだけど、それは保証されていない、ということですね。
ありがとうございました。

回答No.1

endlessriver

それでよいと思います。
ただし２つともx=1で連続微分可能な関数なので堂々とx=1を代入してもだいじょうＶ。

お礼

ありがとうございました