教えてください！！ 数学 証明問題

質問

自然数ａ、ｂ、ｃ、ｄ、が
ａ二乗＋ｂ二乗＋ｃ二乗＝ｄ二乗　を満たしています。

(１)ｄが３で割り切れるならば

　ａ、ｂ、ｃは全て３で割り切れる
　　　　　　か
　ａ、ｂ、ｃは全て３で割り切れない

　　 かのどちらかであることを示しなさい。

(２)ａ、ｂ、ｃのうち偶数が少なくとも２つあることを示しなさい。

お願いします！！

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

オマケ
（１）
d が 3 の倍数ならば d^2 も 3 の倍数なので、a^2+b^2+c^2が 3 の倍数となる条件を取り合えず求めてみる。
#3さんが言われるように、自然数 a,b,c は非負整数 p,q,r とα,β,γ∈{0,1,2}を用いてa=3p+α, b=3q+β, c=3r+γ とおけるので、これらを a^2+b^2+c^2 に代入して整理すると
a^2 + b^2 + c^2 = 3(3p^2+....) + α^2 + β^2 + γ^2
となることを確認。これが、α,β,γ∈{0,1,2}で 3 の倍数となるためには、α^2 + β^2 + γ^2 は 0,3,6,9,12 のいずれか。それを成立させるのは、α=β=γ=0 か α,β,γ＞0 の場合のみ。α,β,γの2うち1つだけ0とか2つが0で残りが1,2の場合には成立しないことは容易に言える。
必要条件であることを示せば良いのだから、９の倍数であることを言う必要はない（と思う）。

（２）
偶数か奇数かを問われているので、
a = 2p + α, b = 2q + β, c = 2r + γ, d = 2s + δ
（p,q,r,s は非負整数、α,β,γ,δ∈{0,1}）
とおいて、a^2 + b^2 + c^2 = d^2 に代入してみると
左辺 = a^2+b^2+c^2 = 4(p^2 + ...) + α^2 + β^2 + γ^2
右辺 = d^2 = 4(s^2 + sδ) + δ^2

d が偶数（δ^2 = 0) のとき、右辺は４の倍数。
α,β,γ∈{0,1} → α^2+β^2+γ^2≦3 の条件下で左辺が４の倍数になるのは α^2+β^2+γ^2 = 0 の場合だけ。
→　α = β = γ = 0
→　a,b,c はすべて偶数

d が奇数（δ^2 = 1) のとき、右辺は４で割ると１余る整数。
α^2+β^2+γ^2≦3 の条件下で左辺が４で割って１余る整数になるのは α^2+β^2+γ^2 = 1 の場合だけ。
→　α,β,γ のうち 2 つは 0 で、1 つが 1
→　a,b,c は 2つが偶数、1つが奇数

以上より、a,b,c のうち少なくとも 2 つは偶数

回答No.3

change-11

ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2 　・・・・・・(1)
ｄが３で割り切れるときｄは
ｄ＝３ｎ　(ｎは自然数）
と表せるので
ｄ^2＝９ｎ^2　　　

ここで次の４つの場合について(1)左辺がどうなるかを考えます。
ⅰ）ａ，ｂ，ｃ全て３の倍数
ⅱ）ａ，ｂ，ｃの内二つが３の倍数
ⅲ）ａ，ｂ，ｃの内一つだけ３の倍数
ⅳ）ａ，ｂ，ｃ全て３の倍数でない
この４つの場合分けの内(1)が矛盾無く成り立つのはどれか吟味します。
うまくやれば　ⅰ）ⅳ）の場合になるはずです。
＜計算を進めるヒント＞
ａ，ｂ，ｃは
ａ＝３ｐ＋α　
ｂ＝３ｑ＋β　（ｐｑｒは自然数、αβγは０,１,２のどれか）
ｃ＝３ｒ＋γ
のように文字を置くとよいでしょう。

(２）は問題の条件文が抜けていませんか？

あと自力でやった部分や自分の考えを示した上で質問してくださいね。
ここではご法度みたいなんで。

お礼

ありがとうございます!!
回答を参考にして考えてみたのですが、やっぱりわかりません。

(１)
　解く方針はすごく理解できました！
　けどもう少し計算においてのヒントをください…

　α,Β,γに0,1,2を代入して
　１つずつ考えなければならないのでしょうか?

(２)
　問題文はそれのみです(＾＾;)

　偶数が少なくとも２つ⇔奇数が多くても１つ

　(1)偶＋偶＋偶＝偶
　(2)偶＋偶＋奇＝奇
　(3)偶＋奇＋奇＝偶
　(4)奇＋奇＋奇＝奇

　(3)(4)が問題の式で成り立たないことを示せばいい

　のかな～とは思ったのですが、そこから先に進めません

　お願いします…

回答No.2

momods

はやとちりでした(^-^;;
(１)は ANo.001 で解けます。
(２)は、

(０)’　ｎ二乗を「４」で割ると

　あまりは必ず０か１であることを示しなさい。

を解いてから解けばいいと思いますっ

お礼

ありがとうございます!!

自然数ｎ、があります。
(０)
　ｎ二乗を３で割ると
　あまりは必ず０か１であることを示しなさい。
(０)’
　ｎ二乗を「４」で割ると
　あまりは必ず０か１であることを示しなさい。

の解き方のヒントをもらえないでしょうか。
考えてはみたのですが、わかりません…

ｎは偶数か奇数だから
(1)ｎ＝２ａ
(2)ｎ＝２ａ＋１
の２通りで考えればいいのかな～という感じです(＾＾;)

また、その(０)と(０)´の証明を
どう問題に利用するのかもさっぱりわかりません

お願いします…

回答No.1

momods

自然数ｎ、があります。

(０)ｎ二乗を３で割ると

　あまりは必ず０か１であることを示しなさい。

これは解けますか？？
これを解いてから、

(１)’　（０）を利用して

　ｄが３で割り切れるならば

　ａ、ｂ、ｃは全て３で割り切れる
　　　　　　か
　ａ、ｂ、ｃは全て３で割り切れない

　　 かのどちらかであることを示しなさい。

(２)’　（０）を利用して、

　ａ、ｂ、ｃのうち偶数が少なくとも２つあることを示しなさい。

を解けばいいと思います。