θ(rad)の積分

質問

角度を時間で積分したら位置になりますよね？
位置変化を時間微分したら角度になるんだから…。

なら、その位置の単位は(m:メートル）ですか？？

なんか、どこか間違ってる気がします。
どなたかご指摘ください。

回答No.8

mmky

＃No1です。皆さんのやりとりからなんとなく質問者の意図がわかってきました。（間違っていたらごめん！）
「横軸に時間t、縦軸に角度θのグラフを考えたときに、sinカーブをもったグラフを考えます。」とありますので、これは位相空間という定義域での話しになります。この領域内では物理単位はどこにいても（現在地を位置と表現しても）ラジアン（無次元）です。この領域での速度を角速度（ｄΘ/dt)や
角加速度と定義しています。
θ(rad)=Asin(2*3.14*f*t) の式のＡ（係数）の単位もラジアンです。
ちなみに、(2*3.14*f*Ａ)は、ｆが（1/sec)の単位ですので角速度の単位になる。
一方、横軸に角度θ、縦軸にy(cm 又はm)のグラフを考えるときは、極座標空間（ｙ,θ)領域での話しになります。
Y=Rsin θ　この式のR（係数）の単位は、cm又はmeterです。

ここで質問の「θ角度を時間で積分したら位置になる」という命題の意味を考えると位相空間上の位置を（R,θ)空間上の位置に変換すると解釈できますので、変換すると、ベッセル関数になりますね。
Y=Rsin (Asin(2πｆt))　　（YとＲの物理単位はcm,又はmeter)
そこで、命題に従って積分を実行するとして、まず位相空間上の係数Ａを1より十分に小さい数に選び操作をすると、
sinΘ≒Θ と近似でき、更にＲ=1（単位長）としておけば、
Y=1・Asin(2πｆt))　　
この表現で、Aは角度おの単位から長さの単位に変換される。
∫RsinΘ dt=∫Ｒsin(Asin(2πｆt))dt
≒∫1×(Asin(2πｆt))dt　＝∫Θdt＝-2πfＡcos(2πｆt)
（ここでのＡは、長さの単位）
2πfＡは、ｆの単位が｛1/sec}ですので、
速度｛m/s}又は｛cm/s}の単位になります。

こういう操作をすれば、
命題「θ角度を時間で積分したら位置になる。」は、
「θ角度を長さと読み替えると位置になる。」
「θ角度を長さと読み替えて時間で積分したら速度になる。」
という表現ができます。

ということかな。

補足

さいこーです、mmkyさん！非常にわかりやすい回答です！！

1つ、よろしいですか？
あげあしをとるわけではなく、確認です。

>一方、横軸に角度θ、縦軸にy(cm 又はm)のグラフを考えるときは、極座標空間（ｙ,θ)領域での話しになります。
→これは横軸にy(cm or meter)、縦軸に角度θのグラフを…でよろしいですか？

>≒∫1×(Asin(2πｆt))dt　＝∫Θdt＝-2πfＡcos(2πｆt)
→これは最後が = -A/(2πf)*cos(2πft)　でよろしいですか？

確かに式変換をしないとAは最初のままでは単位がradですよね。
結果としては最初と同じ(-2πfＡcos(2πｆt))になったけれどもプロセスが全く違い、意味が全く異なることがよくわかりました。