行列の階数の求め方

質問

｜　３　４－１｜
｜　２　１　１｜
｜－２－３　１｜

の行列の階数を求めよ。という問題なのですが、授業や教科書を見ても行列の階数の求め方がまったく分かりません。できるだけわかりやすく教えていただきたいです。解説が分かりやすいサイトだけでもいいので教えてください。お願いします！！

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

基本的にどこかの行・列の成分を０にすることを考えます。
３列目に１が並んでいるのに着目して、
１行目を２行目に足す、１行目を３行目に足す
という操作を行うと、
３　４　－１
５　５　０
１　１　０
となります。
すると、２行目と３行目が比例関係にあることが見えるので、
２行目の－１／５倍を３行目に足すと、
３　４　－１
５　５　０
０　０　０
となって、３行目がすべて０となります。
従って、この行列式は０であり、階数は３にはなり得ず、
３　４
５　５
の行列式は０ではないので、階数は２となります。
もっと変形を進めて、
１　０　０
０　１　０
０　０　０
まで変形することができますが、ここまでやらなくても階数はわかる
でしょう。
また、当然、変形の仕方は一意的ではありません。なので、本の解答
が絶対唯一のものではありません。

最初に、この行列の行列式を計算すると０になるので、最初から
階数は２以下であると見当をつけて、どこかの行・列をすべて０に
するようにします。
また、行列式が０でなければ、階数は３となります。
３次行列くらいなら行列式を計算するのは簡単なので、最初に行列式
を計算し、階数の見当をつけておくのが良いでしょう。

お礼

ありがとうございます！
とっても分かりやすかったです。