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対数微分法について
jlglgの回答
- jlglg
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一致の定理が背景です
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例えばy=sinx^xなどという関数は両辺自然対数をとりますよね そのとき、左辺はlogyとなり 「両辺ｘについて微分したとき」左辺はy'/yとなりますが 「ｘについて微分なのになぜｙがxの関数かのように微分されているのですか？」 考えられたことは、logyを微分したら、d(logy)/dy×(dy/dx)でlogy/dxと同じことになるので、d(logy)/dyは1/yですよね。ということは・・・？dy/dxはy'ということでしょうか？けどyっていうのはxという文字を含んでいませんよね・・・。 合成関数みたいな感じでしょうか・・・？合成関数って微分したら中身をさらに微分するけど・・・ y'ってやるとyの中身は・・・？ などと混乱してしまいました。 アドバイスお願いします。
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質問１ (a^x)'は公式よりa^xloga ですよね。 しかし、両辺の自然対数を取っても考えられると思い、 y=a^x と置くと、log[y]=xlog[a] 両辺をxで微分すると、 y'/y = (x)'log[a] + x(loga)' y' = y(log[a]+x/a) = a^x(log[a]+x/a) となり、先程の (a^x)'=a^xloga と一致しません。 何処が間違えてるのでしょうか。 質問２ 今度は逆に、y=x^(1/x) を微分せよという問題で、 解答では両辺に自然対数をとってます。 しかし、僕は先程の公式と合成関数の微分法で解けると考え、 y'=1/xlog[x]・(1/x)' =1/xlog[x]・-x^(-2) となり、答えの(1-logx)/x^2 と一致しません。 何処が間違っているのでしょうか。 また、公式を使う場合と対数微分法を使う場合、 どのように使い分ければいいのでしょうか。 y=3^(2x-1) を微分せよという問題では 解答では公式を使って解いていて、 やはり対数微分法で解くと解が一致しません。 これでさっぱり混乱してしまいました。
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