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対数微分法について
rabbit_catの回答
(1) log|y|を微分したらy'/yになるから もし、絶対値をとらないと、y≦0でlog(y)が定義できないので、未定義の点が孤立点じゃなくなってしまって、(2)の議論ができなくなってしまいます。 (2) もちろん、log|x|が出てきた時点でx≠0て条件が入ってしまっているので、対数微分法で単純に計算した時点では、x≠0での微分係数は分かっていません。(そもそもx=0で微分可能なのかどうかもわかってません) なので、対数微分法でいったん計算し終わった後で、改めて、x=0についてはどうなのか考えるわけです。 すると、元の関数 x / {(x+1)(x+2)^3} も 対数微分法で計算した(x≠0)での微係数 {-3x^2-2x+2)/{(x+1)^2(x+2)^4} も x=0で連続ってことがわかります。 てことは、x=0でも微分可能で(右微分係数と左微分係数が等しい)あって、その微分係数は、{-3x^2-2x+2)/{(x+1)^2(x+2)^4} にx=0を代入したものになるはず、ってことが分かります。 というわけで、答案としては、一旦、対数微分法で計算した後で、最後に、元の関数と、対数微分法で計算した微分係数が、ともに、x=0で連続、ってことに一言触れておくと完璧です。 ただ、普通はそこまでする必要はないと思いますが。
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例えばy=sinx^xなどという関数は両辺自然対数をとりますよね そのとき、左辺はlogyとなり 「両辺xについて微分したとき」左辺はy'/yとなりますが 「xについて微分なのになぜyがxの関数かのように微分されているのですか?」 考えられたことは、logyを微分したら、d(logy)/dy×(dy/dx)でlogy/dxと同じことになるので、d(logy)/dyは1/yですよね。ということは・・・?dy/dxはy'ということでしょうか?けどyっていうのはxという文字を含んでいませんよね・・・。 合成関数みたいな感じでしょうか・・・?合成関数って微分したら中身をさらに微分するけど・・・ y'ってやるとyの中身は・・・? などと混乱してしまいました。 アドバイスお願いします。
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質問1 (a^x)'は公式よりa^xloga ですよね。 しかし、両辺の自然対数を取っても考えられると思い、 y=a^x と置くと、log[y]=xlog[a] 両辺をxで微分すると、 y'/y = (x)'log[a] + x(loga)' y' = y(log[a]+x/a) = a^x(log[a]+x/a) となり、先程の (a^x)'=a^xloga と一致しません。 何処が間違えてるのでしょうか。 質問2 今度は逆に、y=x^(1/x) を微分せよという問題で、 解答では両辺に自然対数をとってます。 しかし、僕は先程の公式と合成関数の微分法で解けると考え、 y'=1/xlog[x]・(1/x)' =1/xlog[x]・-x^(-2) となり、答えの(1-logx)/x^2 と一致しません。 何処が間違っているのでしょうか。 また、公式を使う場合と対数微分法を使う場合、 どのように使い分ければいいのでしょうか。 y=3^(2x-1) を微分せよという問題では 解答では公式を使って解いていて、 やはり対数微分法で解くと解が一致しません。 これでさっぱり混乱してしまいました。
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ありがとうございました。 詳しい解説、大いに参考にさせていただきました。 なんとなく、気持ち悪さが取り払われたかなと思います。