高次式

質問

こんにちは。
よろしくお願いいたします。

a=(1+√5)/2のとき、次の式の値を求めよ。
(1)a^2-a-1 (2)a^5+a^4+a^3+a^2+a+1

私にはそのまま代入しか思い浮かず、大変なことになってしまいました。数学が苦手で解法すら思い浮かびません。
それぞれ答えは(1)0(2)14+6√5です。

教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.3

noname#47894 · ベストアンサー

単純に、
a=(1+√5)/2　　から　2a-1=√5　よって、（2a-1）^2=5
展開して、整理すれば、a^2-a-1=0
ここから、（１）は直ちに０と分かります。

(2)は、a^5+a^4+a^3+a^2+a+1　は、
回答No.1、No2のように、除法でも出せますし、
a^2＝a+1　より、
a^3＝a^2+a＝2a+1
a^4＝a^3×a＝2a^2+a＝3a+2
a^5＝a^4×a＝3a^2+2a＝5a+3
よって、a^5+a^4+a^3+a^2+a+1＝12a+8＝6(2a-1)＋14
と変形すれば、2a-1=√5　なので、特に代入しなくても答えが出せるでしょう。

お礼

ありがとうございました。
すごくご丁寧になおかつ一番近道な方法を教えてくださったおかげで解けました。

また、何かありましたらよろしくお願いいたします。

補足

mzakitさん
ありがとうございます。

質問があります。
なぜa^3=a^2+aになるのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

回答No.4

osaQ

ANo.3 とは別人ですが……

> なぜa^3=a^2+aになるのでしょうか。

a^3 ＝ a^2 × a
　　＝ (a+1) × a
　　＝ a^2 ＋ a　　　　　　　　です。さらに，
　　＝ (a+1) ＋ a
　　＝ 2a+1　　　　　　　　　　です。

お礼

osaQさん
ありがとうございます。

すごくフォローしてくださって助かりました。

また、何かありましたら今後よろしくお願いいたします。

回答No.2

noname#46750

aを２次方程式の解と考えると、
b=(1-√5)/2
も解である。
a+b=1, ab=-1
であるから、解と係数の関係よりa,bは
x^2-x-1=0
の解である。
よって(1)答えは0
(2)a^5+a^4+a^3+a^2+a+1をa^2-a-1で割ります。そうすると、
a^5+a^4+a^3+a^2+a+1＝(a^2-a-1)(３次式)+(１次式)
これにa=(1+√5)/2を代入します。(1)よりa^2-a-1＝０なので、答えは上記の１次式にa=(1+√5)/2を代入した値になります。

お礼

mathphyさん
ありがとうございました。
おかげさまで解けました。

また、何か今後ありましたらよろしくおねがいいたします。

回答No.1

postro

b=(1-√5)/2 とおくと、
a+b=1
ab=-1
解と係数の関係から、a,b は
x^2-x-1=0 の解である。よって
a^2-a-1=0

a^5+a^4+a^3+a^2+a+1をa^2-a-1で割ると
商がa^3+2a^2+4a+7 ,あまりが12a+8 なので
a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=(a^2-a-1)(a^3+2a^2+4a+7)+12a+8=12a+8

お礼

postroさん
ありがとうございました。
とても参考になりました。

また、今後何かありましたらよろしくお願いいたします。