確率で勘での正解を含まない正解率の出し方は？

質問

例えば、三択問題が5問あります。答える人は確実にわかっている答えを選ぶときもあれば、勘で答えて間違えるときもあれば、勘で答えて正解することもあります。
　5問中4問正解しても、勘で正解しているのかそれとも本当にわかっていて正解しているのかわかりません。4問正解では正解率80%ですが、そのうち運の要素を含まない正解率を出すにはどうすればいいと思いますか？文献やURLを教えていただけたら幸いです。

回答No.9

kts2371148

「三択問題が 5 問あります」の例では、運の要素を含まない正解率を出すのは無理でしょう。
でも、「三択問題が 100 問あります」ならある程度の情報が得られます。

問題 100 問中の純粋な正解数を 100 問中 t1 問、わからなくて勘で答えた問題数を t2 問であるとします。
すると、当然のことながら、t1 + t2 = 100 です。
そして、運の要素を含んだ正解数は、t1 から 100 までの値のどれかです。
運の要素を含んだ正解数が t である確率を P(t) とすると、

P(t1) = [t2]Ｃ[0] (2/3)^(t2) (1/3)^(0)
P(t1+1) = [t2]Ｃ[1] (2/3)^(t2-1) (1/3)^(1)
…
P(99) = [t2]Ｃ[t2-1] (2/3)^1 (1/3)^(t2-1)
P(100) = [t2]Ｃ[t2] (2/3)^0 (1/3)^(t2)

です。

例えば、t1 = 50 の例を考えてみます。
t1 ≦ t ≦ 100 の範囲のうち、P(t1) や P(100) などになる確率は小さくなります。
そこで、大はずれや大当たりは起こらないものと決め付けてしまいます。
そしてさらに、

P(t1) + P(t1+1) + … + P(t3) ≦ 0.025　（つまり、2.5%）
P(t4) + … + P(99) + P(100) ≦ 0.025　（つまり、2.5%）

であるならば、運の要素を含んだ正解数が
t , t+1 , t+2 , … , t3 および t4 , … , 98 , 99 , 100 であることは起こらないものと決め付けてしまいます。
両端の 2.5% ずつを起こらないと決め付けるわけです。

実際に計算すると、t ≦ 59 および t ≧ 73 は起こらないと決め付けることができ、
（両端の 2.5% ずつは切り捨てたので）95% の確率で、60 ≦ t ≦ 74 であると言えます。

これを統計学的用語で言うと、
「運の要素を含んだ正解数の 95% 信頼区間は、[60,74] である」
といいます。上記の方法を区間推定と言います。

でも、質問者さんがお尋ねになっているのは、上記と逆のことですね。
そこで…

この辺で字数制限のため、もう少し知りたい場合は補足をお願いします。

補足

回答ありがとうございます。数学力がないため理解できない部分があります。
P(t1) = [t2]Ｃ[0] (2/3)^(t2) (1/3)^(0)
P(t1+1) = [t2]Ｃ[1] (2/3)^(t2-1) (1/3)^(1)
…
P(99) = [t2]Ｃ[t2-1] (2/3)^1 (1/3)^(t2-1)
P(100) = [t2]Ｃ[t2] (2/3)^0 (1/3)^(t2)
の部分のＣとはどういう意味なのでしょうか？
申し訳ないのですが、皆様が回答されている方法はそれぞれ違うのですが、No,7様の考え方なら理解できました。No,7様の方法なら厳密さが足りないのでしょうか？