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ルート3に収束することの証明
数列anが、a1=2,an+1=(an+3/an)/2であるとき、n→∞にすると、anは√3に収束することを証明せよ。 この問題が分からないくて困っています。 相加相乗平均でan≧√3はすぐに出てくるのですが、これ以降どのように挟み撃ちにもって行けばいいのか分かりません。 どなたかよろしくお願いします。
- coronalith
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質問者が選んだベストアンサー
ねてしまったかな。 一応書いておくと、 an+1 - an = (an + 3/an)/2 - an = (-an + 3/an)/2 = (3 - an^2)/2an であり、an≧√3 から、an+1 - an≦0 を得ます。 分数式を評価するときは、通分しましょう。
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- tecchan22
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右辺を通分してごらん、すぐ分かるから。
- tecchan22
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一つずらした漸化式を辺々ひくのでなく（その手法は、あんまり間に合わないです。つまり、役に立つことが少ないです）、両辺共にａｎを引くんです。
お礼
すみません、一応、 a{n+1}-a{n}=-(1/2)(a{n}-3/a{n}) までは、出したのですが、この後は、どうすればいいのでしょうか？
- tecchan22
- ベストアンサー率53% (41/76)
＞ただ、anが単調減少といきなりいわれてますが、これの証明はどの様にやったらいいのでしょうか？ 自分で証明してごらん。 やることは同じです。 an+1 と an の差をつくって評価する訳です。 つまり、両辺から an をひいて考えるわけです。 それはもう自分で考えたかな、と思って説明を省いちゃいました。 因みに、本でも説明を省いてあることは良くあるが、そういう時は、自分でよく考えてみることが大事ですよ。（書いた人が間違えていて、いくら考えても分からないこともあるけどね。^^;だから、ある程度考えて分からなければ質問することも大事やね） でわ。
お礼
a{n+1}-a{n}=(a{n}-a{n-1}+3((1/a{n})-(1/a{n-1})が常に負になるかどうかは、考えてはみたのですが、帰納法で証明しようかとかごちゃごちゃやってみてたんですが良いアイデアが出てこなかったのですよ＿|￣|○
見やすいかどうかはわかりませんが，自分で書いていてわかりやすいので 数列{an}を{a_n}と表現させてもらいます。あしからず。 相加相乗平均を使ったということは問題の式がa_{n+1}=((a_n)^2+3/a_n)/2の間違いのような気がしますが…？ 以下はそう仮定した上で話を進めたいと思います。 a_n≦√3であることがわかったら， a_{n+1}-a_n≦0であることがわかりますね，つまりはa_nは単調減少の数列ということです。 tecchan22さんの指針通り計算しようとすると a_{n+1}-√3={(a_n-√3)^2}/2a_n≦{(a_n-√3)^2}/2√3となり， ここでa_n-√3=b_nと置き直すと(ここでb_nも単調減少の数列)， b_{n+1}≦(b_n)^2/2√3となります。 題意よりb_n→0が示せればよいので， b_1=a_1-√3=2-√3≦1なので， b_n≧0であることも考え， b_{n+1}≦(b_n)^2/2√3 ⇒b_{n+2}≦(b_{n+1})^2/2√3≦(b_n)^4/12√3 …とやっていくとb_n≦1なので，b_n→0となることがわかります。 見づらくなりまして申し訳ございません。 誤植などありましたらスルーしてください。
補足
>a_{n+1}=((a_n)^2+3/a_n)/2の間違いのような気がしますが…？ 問題文は、a_{n+1}=(a_{n}+3/a_n)/2であってますよ。 もし、a_{n+1}=((a_n)^2+3/a_n)/2だと、a_nがαに収束すると仮定すると、 α=(α^2+3/α)/2 2α^2=α^3+3 0=α^3-2α^2+3 (1) ここで問題ではαは√3なのですが、式(1)に√3を代入すると、3√3-3となり、設問とずれてしまいます。
- tecchan22
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ありゃりゃ。（失礼） an+1 - √3 = (an - √3)^2/2an となるでしょう？ いま√３≦ａｎ≦２（単調減少ですから）だから、たとえば、 an+1 - √3 ≦ (an - √3)(2 - √3)/2√3 だから、 (2 - √3)/2√3 = (2√3 - 3)/6 = 0.076・・ ・・※ より、まあ適当に※より大きくて１より小さい数を選んで、（０．１にしましょうか） an+1 - √3 ≦ (1/10)(an - √3) と出来ます。^^ あとは出来ますでしょう？
お礼
なるほど＾＾ ただ、anが単調減少といきなりいわれてますが、これの証明はどの様にやったらいいのでしょうか？
- tecchan22
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そーゆー時は、両辺と√３との差を考えるといいですよ。 （両辺から√３をひく） そして、ａｎ－√３→０を示すんです。
お礼
それはもう、やってみたんですが、それ以降の手が分からないのです・・・＾＾；
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