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収束の問題

  • 困ってます
  • 質問No.220833
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お礼率 18% (10/53)

すごい基礎的な問題だと思うのですが
はずかしながらどうもうまくできないので質問します

実数列{an}n=1~∞がある
bn=|an-(an+1)|とおく
あるa∈Rがあってan→a(n→∞)となるとき
Σ(n=1~∞)bnは収束するか?
収束するなら証明を、そうでないなら反例をあげよ

おねがいします
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル7

ベストアンサー率 66% (8/12)

反例として
a(n+1)-a(n)={(-1)^(n-1)}/(2n-1)
となる数列a(n)だと
lim(n→∞)a(n)
=a(1)+Σ(n=1~∞){(-1)^(n-1)}/(2n-1)
=a(1)+π/4
で収束しますが
Σ(n=1~∞)|a(n+1)-a(n)|
=Σ(n=1~∞){1/(2n-1)}
は∞に発散します
お礼コメント
hismix

お礼率 18% (10/53)

(-1)^(n-1)乗かー
なるほどそれで絶対値なわけだ
どうもありがとうございました
投稿日時 - 2002-02-19 16:56:45
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 48% (325/664)

b(n)=a(n)-a(n+1)ですから、  Σ(k=1~n)b(k)={a(1)-a(2)}+{a(2)-a(3)}+…+{a(n)-a(n+1)}         =a(1)-a(n+1) となります。したがって、  Σ(n=1~∞)b(n)=lim(n→∞){Σ(k=1~n)b(k)}          =lim(n→∞){a(1)-a(n+1)}          =a(1)-a と ...続きを読む
b(n)=a(n)-a(n+1)ですから、
 Σ(k=1~n)b(k)={a(1)-a(2)}+{a(2)-a(3)}+…+{a(n)-a(n+1)}
        =a(1)-a(n+1)
となります。したがって、
 Σ(n=1~∞)b(n)=lim(n→∞){Σ(k=1~n)b(k)}
         =lim(n→∞){a(1)-a(n+1)}
         =a(1)-a
となります。
 
補足コメント
hismix

お礼率 18% (10/53)

bn=|an-(an+1)|なので
一概にb(n)=a(n)-a(n+1)とはならないと思いますが
どうでしょう?
この縦棒は絶対値の意味でお願いします
ちょっとみにくかったです
すいません
投稿日時 - 2002-02-19 16:09:33


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