内接三角形の面積

質問

円に内接している三角形の面積の求め方について教えてほしいです。
円に内接している三角形をABCとおき、円の中心OからBCに垂線をおろし、
その交点をH、距離をt、そして半径をrとする。
このとき、三角形の面積は1/2×2√(r^2-t^2)×(r+t)でいいのでしょうか？
(r+t)についてどのような三角形のときにも応用できるかどうかが
いまいちよくわからないので教えてほしいです。よろしくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

わかっている部分によっていろんな式が考えられます。
△ＡＢＣ，ＡＢ＝c、ＢＣ＝a、ＣＡ＝b、円の半径をｒとします。

・２辺とはさむ角が既知（例えばa,b,∠Ｃ）
　　Ｓ＝(1/2)*a*b*sin∠Ｃ
・３辺と円の半径が既知（上の式の変形です）
　　Ｓ＝(a*b*c)/(4r)
・２角と円の半径が既知（例えば∠Ａと∠Ｂ）
　　Ｓ＝(1/2)*r^2*{sin(2∠Ａ)+sin(2∠Ｂ)-sin(2∠Ａ+2∠Ｂ)}
（１辺と両端の角の一方、円の半径が既知の場合は煩雑な式に
　なったのでやめておきます）
など、いろいろ考えられますが、
面積の公式・・(1/2)×[２辺の積]×sin(その２辺ではさむ角)
正弦定理・・・a/sin∠Ａ＝b/sin∠Ｂ＝c/sin∠Ｃ＝２ｒ
　　　　　　　（ｒは外接円の半径）
が基になっています。

回答No.2

incd

そもそも一定ではないのだから公式はないでしょう。
面積を決定するには情報が足りないということです。

では、どのような情報があればよいかという点について、
三角比をすでに習っているのであれば、
正弦定理と三角形の面積公式を用いて考えてはどうでしょうか。

正弦定理によって、任意の三角形の頂点Aとその対辺a、外接円の半径Rについて
a = 2R sin(A)
という関係があることが分かります。

また、三角形の面積Sは
S = ab sin C /2
で求められることが分かっています。

これらの組み合わせによってなんらかの関係式を導くことはできるかもしれません。

三角比を用いずに同じようなことをすることもできますが、あまりエレガントではないでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。私の提示した条件では情報が少ないんですね。面積を求めるには三角比を使うのが手っ取り早いですね、ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

う～ん, ダメなのは一瞬でわかるはずなんだけど....
思考実験:
点O を中心とする半径 r の円に弦BC をひきます. これで r と h が決まります.
さて, この円周上の任意の点A に対し, △ABC の面積は一定になるでしょうか.

補足

任意の点Aをとると底辺BCに対して高さは一定ではないので、面積も一定には
ならないですね。だから、この式を適用することはできませんね。
では、内接三角形の面積を求める公式のようなものはないんでしょうか？