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対数の大小問題
log(10)4と3/5の大小を導出する問題が解けません。 3/5を(3/5)*log(10)10としたのですが、それ以上 どうすればよいかわからなくなりました。 どなたか明快な解答をお願いできないでしょうか?
- namidame_dion
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>(3/5)*log(10)10とした では、その線で進めてみましょう。 (3/5)*log(10)10=log(10)10^(3/5)=log(10)1000^(1/5) 一方、 log(10)4=log(10)(4^5)^(1/5)=log(10)1024^(1/5) どちらが大きいでしょう?
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- kumipapa
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#2です。アホでした。 > log(10)4 = (1/5) log(10)4^5 = (1/3) log(10)1024 当然、最後は1/3ではなくて(1/5)log(10)1024です。 何をどう打ち間違えれば1/3になるのやら。
お礼
いえいえ、そこについては問題ありません。 全体的な解き方はよくわかりました。
- take_5
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対数は常用対数なので底は省略する。 log4=2log2=2log(10/5)=2{1-log5}。つまり、log5の小数第1位の値を求めると良い。 (10)^3=1000<3125=(5)^5. よって、両辺を2乗すると、(10)^6<(5)^10‥‥(1) 又、(5)^3=125<128=(2)^7. よつて、(5)^3<(2)^7。 両辺に、(5)^7をかけると (5)^10<(10)^7‥‥(2) (1)と(2)から(10)^6<(5)^10<(10)^7‥‥(3)。3辺の10乗解をとると、(10)^0.6<5<(10)^0.7‥‥(4)。 以上から、0.6<log5<0.7‥‥(5). log5=1-log2より(5)に代入すると、0.3<log2<0.4となり、log4=2log2でもあるから、0.6<2log2<0.8。3/5=0.6だから、log4>3/5となる。
お礼
こういった解き方もあるんですね。 論理的で理数系的な考え方で感服致しました。
- zk43
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4^5=2^10=1024>1000=10^3 log(10)4^5>log(10)10^3=3 5log(10)4>3 log(10)4>3/5
お礼
シンプルでとてもわかりやすいです。 ありがとうございました。
- kumipapa
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もっとスマートな考え方があるのかも知れませんが・・・ 質問者さんの方向で、 3/5 = (3/5) log(10)10 = (1/5) log(10)10^3 = (1/5) log(10)1000 log(10)4 = (1/5) log(10)4^5 = (1/3) log(10)1024 ∴ log(10)4 > 3/5
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