数II 対数の大小関係の問題です

質問

log0.3 4 ,log2 4 ,log3 4
の3つの大小関係を示すにはどうしたらいいでしょうか？

最後の数字が全て4となっていることを利用するのはだいたいわかるのですが…

よろしくお願いします。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

logの底は、１のところに"特異点"（境い目）があるので注意が必要です。

まずは計算結果より。
a = log0.3 4 = ln4/ln0.3 = -1.15・・・
　　log1 4 = ln4/ln1 = log4 / 0 →　×
b = log2 4 = 2
c = log3 4 = ln4/ln3 = 1.26・・・

（ln は、ｅを底とした対数のことです。
　数学だとlogですが、"常用対数"と紛らわしいので。）

では本題。
a = ln4/ln0.3 = ln4/ln(3/10) = ln4/(ln3 - ln10)
b = ln4/ln2
c = ln4/ln3
よって、負になるのはａだけなので、ａが最小。
あとは、ｂとｃの大小関係を見ればよいですが、それは簡単ですね？

お礼

ありがとうございます。
僕の勉強不足でした。

回答No.3

yut-

>>1さんの回答、途中まではいいですが、

log0.3は負の値になります
x>1,Y<1のとき、logx Y<0って、公式ありますよね？
（底＞１が説明の前提になっていると思います）

なので、log0.3 4<0

他の２つは正の値ですから、
log0.3 4が一番小さいことになります。

log2 4 ,log3 4の大小関係は、>>1さんの回答の通りです。

従って、問題集の解答通り、小さい順に
log0.3 4 ,log3 4,log2 4
でＯＫです。

なお、単に大小関係がわかるだけでよいなら、
log0.3 4　は、loga X でa < 1, x > 1なのでマイナス
log3 4 は、log3 3=1 < log3 4 < log3 9=2
log2 4 =2
というように、ざっと値の見当を付けて比てもよいと思います。

お礼

僕の勉強不足でした。
ありがとうございます。

回答No.2

chaozux

No.1 です。
すみません、間違えました＾＾；

log 0.3 < log 2 < log 3
ですが、
log 0.3 はマイナスになるため
1 / log 0.3 < 1 / log 3 < 1 / log 2 （log 2 と log 3 だけ、逆数にして大小が逆になる。）
となります。
よって、
log0.3 4 < log3 4 < log2 4
ですね。

お礼

ありがとうございます。
わかりました。

回答No.1

chaozux

こんばんは。
対数は次の公式が成り立ちます。
logxY = logaY / logaX

(1)３つの底を同じ（例えば１０とかe）にして揃えて変換します。
（以下、底「e」は省いて記述します。）
log0.3 4 = log 4 / log 0.3 ・・・a
log2 4 = log 4 / log 2　・・・b
log3 4 = log 4 / log 3　・・・c
分子が等しくなりました。

(2)分母の大小を比較します。
log 3 > log 2 > log 0.3
ですので、
1 / log 0.3 > 1 / log 2 > 1/ log 3
です。

よって
a > b > c
となります。

お礼

ありがとうございます。
問題集の解答では小さい順に
log0.3 4 ,log3 4,log2 4
となっているんです。

これは問題集のミスとみていいのでしょうか？