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三乗根ω
三乗根ωの性質の理由が分からないので教えてください。 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)を使って考えるらしいです。 w^2+w+1=0 w━(ωバー,集合とかに出てくるバー)=w^2=1/w w*w━=1 以上の3つをお願いします。
- dandy_lion
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こんにちは。x^3=1は、y軸を虚軸としてあつかう複素数平面(ガウス平面)で作図すると正三角形がきれいに描けます。見事です。ぜひ描いてみてください。 で、意味は3乗して1となる数ですよね。暗算でx=1はでてきます。1を3乗すると1ですから。 この3乗根は、_3√1(1の3乗根)=1 で記号であらわせます。 また、記述ある因数分解した公式で考えてみます。 x^3=1 x^3-1=0 (x-1)(x^2+x+1)=0 x=1,x^2+x+1=0から解の公式で、x=-1±√3i/2となります。 ここで,この複素数解のどちらか1つをωと置くのです。 ω=-1+√3i/2とおくと、ω^2=(1-2√3i-3)/4=-1-√3i/2 と計算でき他方の解となります。 これらかも容易に ω^2+ω+1=0が出てきます。 共役な複素数ωバーとおくとつまりはω^2と一致します。 またω^3=1からω^2=1/ωも成り立っています。 ω^3=1 ω×ω^2=1 かきかえて ω×ωバー=1 ということです。 ωやオメガで検索したり、高次方程式などみると面白いと思います。 円周等分分割方程式?でしたか?あいまいです。
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- key-boy
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x^3=1 は円周を3等分して θ=0,±2/3π(0°,±120°) ω=cosθ+isinθ に代入しても求められます。
- info22
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>w━(ωバー) これを「ω~」と書くことにします。 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0 …(1) x=1以外の虚数根の1つをωとおくとωは次の方程式の解である。 x^2+x+1=0 …(2) x=ωを(1),(2)に代入すると ω^3-1=0 …(3) ω^2+ω+1=0 …(4) (2)から ω=(-1+i√3)/2,ω~=(-1-i√3)/2 …(5) ωとω~は共役複素数の関係にある。 ωとω~は(2)の解であるから 解と係数の関係から ω+ω~=-1 …(6) ω*ω~=1 …(7) (6)から 1+ω=-ω~ (4)に代入 ω^2-ω~=0 ∴ω~=ω^2 …(8) (7)から ω~=1/ω …(9) (8)と(9)から ω~=ω^2=1/ω …(10) (4),(10),(7)が求める式ですね。
- Tacosan
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ωがω^3 = 1 かつ ω≠1 であることから, ちょっと考えればわかるはず. 例えば, ω-1 ≠ 0 だから ω^3 - 1 = 0 の両辺を ω-1 で割れるよね.
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皆さんありがとうございます。 では大学受験において一応覚えておいたほうがいいのですよね。