組合せの問題

質問

はじめまして。
私は今家庭教師のバイトで高校1年生の数学を教えています。
その中の問題で、答えを見てもどうしても理解できない問題がありました。
『リンゴ・オレンジ・グレープの3種類のジュースを合わせて10本買う。
少なくとも1種類を含む買い方は何通りあるか。』という問題で、答えが

○○○○○○○○○○の９つの間に２つ｜を入れると考えて、　
９Ｃ２＝３６通り

となるらしいのですが、私はこのような方法では教わってこなかったので、考え方がさっぱりわかりません。
それに、１０本のジュースを買うなら少なくとももなにも１種類には必ずなりますよね？
間の９つに｜を入れるのだと必ず３種類になってしまいますし…

私の力不足なのはわかっているのですが、どなたかこうなる理由を教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.5

kumipapa · ベストアンサー

「少なくとも１種類を含む買い方は」など、あまりに当たり前すぎることを言っていて、変な問題文ですよね。

一方で、答えは重複組み合わせの「仕切り分配法」と呼ばれる考え方で、
x,y,z≧１で x+y+z = 10
の整数解の組み合わせの数を求める考え方ですから、#1さんの言われるとおり、「どの種類も少なくとも１本」という条件を「少なくとも１種類」と書き誤ったということかなーと、私も思います。

「少なくとも１種類」という問題文が間違いでないなら、「とにかく１０本、好きな組み合わせで買え」ということでしょうから、#2さんがおっしゃるとおり、重複組み合わせの丸棒分配法で、
x,y,z≧0 で x+y+z = 10
の整数解の組み合わせの数を求めることになり、#2さんが正解で問題の回答例が誤り。

苦労なさいますね・・・変な問題で。

お礼

回答ありがとうございます。

やっぱりどちらかが間違っているみたいですね；
高校の数学を忘れかけていたせいもあってただ理解できないのかと思いましたが…
生徒には学校で一度先生にきいてみるように言いました。

皆さん親切な回答ありがとうございました。

回答No.4

abyss-sym

確かに変ですね。
＞○○○○○○○○○○の９つの間に２つ｜を入れると考えて、９Ｃ２＝３６通り

答えが正しいとすれば、３種類含まれることになってしまいますね。

＞リンゴ・オレンジ・グレープの3種類のジュースを合わせて10本買う。
少なくとも1種類を含む買い方は何通りあるか。

＞端も入れると、11Ｃ2で５５通りになってしまいますし…

おしいです。これだと少し足りないです。
11Ｃ2と考えると、仕切りが連続している場合が抜けてしまいます。
仕切りが連続している場合は11通りなので、55＋11＝66 通り

他の考え方の例としては、スペースが12個あったとします。
□□□□□□□□□□□□
このスペースのうちのどこかに２つの仕切り二つを入れると考えます。
なので12Ｃ2＝66通り

おそらく問題か答えのミスだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

あ、本当ですね；
訂正ありがとうございます。

やっぱりそうですよね…一度学校できいてみるように生徒に言ってみます。

回答No.3

abyss-sym

ANo2です。
補足の質問に答えます。
○○○○○○○○○○｜｜　これだと、リンゴが１０個
｜○○○○○○○○○○｜　これだと、オレンジが１０個
｜｜○○○○○○○○○○　これだと、グレープ１０個
と考えることができます。

お礼

回答ありがとうざいます。

この問題の解答では、１０個の○の「９つの間」となっているので、端には仕切りが置けないみたいなんです。
端も入れると、11Ｃ2で５５通りになってしまいますし…
やっぱり問題文か解答が間違っているのでしょうか；

回答No.2

abyss-sym

１つ目の仕切りより左側がリンゴの数、仕切りと仕切りの間がオレンジの数、２つ目の仕切りの右側がグレープの数と考えます。
例をあげると、
○○○｜○○○｜○○○○
これだと、リンゴ３、オレンジ３、グレープ４です。
○｜○○○○○○○○｜○
これだと、リンゴ１、オレンジ８、グレープ１です。
○○○｜｜○○○○○○○
これだと、リンゴ３、グレープ７です

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、２本の仕切りをおなじところに入れるのもありなのですね。
でも、やっぱり１種類だけというものは除かれていますよね？
これだと『少なくとも２種類』になってしまうのでは…？

回答No.1

ryn

問題文の日本語がおかしいだけだと思います．
○○○○○○○○○○の９つの間に２つ｜を入れると考えて
のような解説がされているところから考えると

『リンゴ・オレンジ・グレープの3種類のジュースを合わせて10本買う。
どの種類も少なくとも1本含む買い方は何通りあるか。』

ではないでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。

私も、最初これは問題文に間違いがあるのではないかと思いました。
一度生徒に学校の先生に聞いてみるように言ってみます。