三角比の問題 （２）

質問

（問題）△ABCにおいて、a cosA +b cosB =c cosCが成り立つとき、
△ABCは、直角三角形を証明せよ。

余弦定理を使ってやっているのですが、答えが出ません。

教えてくださいまし。

回答No.3

i536 · ベストアンサー

余弦定理:a^2 = b^2 + c^2 - 2b*c*cosA 　から、
cos A = (a^2 - b^2 - c^2 )/2b*c ---(1)

同様に、
cos B = (b^2 - a^2 - c^2 )/2a*c ---(2)
cos C = (c^2 - a^2 - b^2 )/2a*b ---(3)

条件 a*cosA + b*cosB = c*cosC から、

a*cosA +b*cosB - c*cosC = 0 ---(4)

(4)に(1)(2)(3)を代入し、両辺に 2*a*b*c (= 0でない！)を掛けると、

a^2*(a^2 - b^2 - c^2) + b^2*(b^2 - a^2 - c^2) - c^2*(c^2 - a^2 - b^2) = 0
a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4 - c^4 = 0
(a^2 -b^2)^2 - c^4 = 0
(a^2 -b^2 -c^2)(a^2 -b^2 + c^2) = 0

よって、a^2 -b^2 -c^2 = 0 または、a^2 -b^2 + c^2 = 0

よって、b^2 + c^2 = a^2 または、a^2 + c^2 = b^2

よって、斜辺a または斜辺b　の直角三角形.

補足

すみません、
余弦定理は、
cos A = (b^2 + c^2 - a^2 )/2b*c ---(1)
cos B = (c^2 + a^2 - b^2 )/2a*c ---(2)
cos C = (a^2 + b^2 - c^2 )/2a*b ---(3)

ではないですか？

回答No.4

kony0

#2の者です。

ごめんなさい、符号間違いしてます。

私の回答は無視してください。。。

#3のi536さんのとおりです。

回答No.2

kony0

あら、そうですか？
途中式で、以下の式が（けっこう序盤に）出てくるはずです。
a^2(b^2+c^2-a^2) + b^2(c^2+a^2-b^2) = c^2(a^2+b^2-c^2)
これはまた高校入試によく出てきそうな因数分解ができて
(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)=0となるはずです。

回答No.1

novaakira

小文字のa,b,cは何をあらわしているのですか？