- ベストアンサー
(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C (x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C ※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C (x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C (x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C ですが、 なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう? はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、 イメージとしては、どう捉えればよいでしょう? 証明等は無くても構いませんので、 直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。 (もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- proto
- ベストアンサー率47% (366/775)
関連するQ&A
- ∫(1/(2x))dx,ln[x]=ln[2x]?
∫(1/(2x))dx をときたいと思います。 この解き方には二通りあると思います。 (1) 1/2∫(1/x)dx= 1/2( ln[x] )+C (2) そのままとく 1/2(ln[2x])+C このようにすると、 ln[x]=ln[2x] となってしまいます。 この説明はどのようにすればよいでしょうか? よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫ 4-[19/(2x+3)]dx
∫ 4-[19/(2x+3)]dx 2x+3 → u ∫ 4-(19/u) du/2 ∫ 2-(19/2)(1/u) du 2u - 19/2 ln lul +c 4x+6 - 19/2 ln l2x+3l +c 答えは 4x - 19/2 ln l2x+3l +c です。 ∫ 4dx -∫ [19/(2x+3)]dx と別々に計算すれば正しい答えになります。 でも最初の私の考え方で何故正しい答えが出ないのかわかりません。 4がただの係数だからなのか?と思っていますがはっきりしません。 どなたか説明して頂けますか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫ 4/(x² -4) dx
問題) ∫ 4/(x² -4) dx 答え) ln|x-2| - ln|x+2| + k 私はこの公式を覚えたばかりで ∫ f ´(x)/ f(x) dx → ln |f(x)|+c この公式に依るとこうなるはずなんですが→ ∫ 4/(x² -4)dx → 2 ∫ 2/(x² -4)dx → 2 ln |x² – 4| + c この私の出した答えはやはり間違っていますか? 教えて頂けたら助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫ 3/(x-2) - 3 dx
∫ 3/(x-2) - 3 dx が 3lnlx-2l -3x + c となるのはわかります。 しかし (x-2) = u とした時 ∫ 3/u - 3 du 3ln lul - 3u +c 3 ln l x-2 l - 3(x-2) +c となってしまいます。 3 →3u とならないのでしょうが、何故だかわかりません。 (x-2) = u とするやり方での途中計算を見せて頂けますか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫dx/(x×2^x)
∫dx/(x×2^x) (I)不定積分∫dx/(x×2^x)について。これは (1)高校数学でも解ける (2)高校数学では解けないが解くことは可能 (3)解くことはできない (4)わからない(ことが知られてる) のどれですか? (1)の場合ヒントを、(2)の場合答えを教えてください (3)(4)の場合 (II)極限 n lim∫dx/(x×2^x) 1 n→∞ は (1)はさみうちなどで具体的な値(もしくは発散)がでる (2)はさみうちなどでだいたいの値がでる (3)解くことはできない どれですか? よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- |cos x|の微分は何?
∫(tan x) dx = -ln|cos x|+Cの証明は分かるのですが、その逆(d/dx(-|cos x| = tan x)には、どうたどり着くのでしょうか? (sin x)/ |cos x|まで行き着いたのですが(ここが間違えかも)、絶対数サインを取ることができません…
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ln l y l = 2x^2 + C が y
ln l y l = 2x^2 + C が y = ke^(2x^2) ln l y l = x^2/2 + x + C が y = ke^(0.5x^2 + x) に変えられる、というのが理解出来ません。 単純に ln l y l = 2x^2 + C は y = e^(2x^2+C) ln l y l = [( x^2)/2] + x + C は y = e^( 0.5x^2 + x + C) としか考えられません。 何故 ln l y l = 2x^2 + C が y = ke^(2x^2) ln l y l = x^2/2 + x + C が y = ke^(0.5x^2 + x) になるのか 説明して頂けますか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫1/√(x^2+a)dxの求め方
∫1/√(x^2+a)dxの求め方 積分公式の一つに ∫1/√(x^2+a)dx=log{x+√(x^2+a)}+C(Cは積分定数) がありますよね。 これってどのように証明すればよいのですか? x=asinθで置換積分してもうまく解けないのですが…。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- インテグラルからlnへの変換、計算方法
インテグラルからlnに変換する際の法則がわかりません。またlnに変換した後の計算方法もわかりません。 (1)-∫<C0~CA>dCA/CA=∫<0~t>kdt これが、ln[C0/CA]=kt となるための法則、式の展開を詳しく書いていただけたら嬉しいです! (2)∫<0~x>dx/(xe-x)=∫<0~t>k(a+b)dt/(b+xe) また、これはなぜ、 =[-ln(xe-x)]<0~x> =ln[xe/(xe-x)]. となるのでしょうか? いくつか類題を解いてみて、自分なりに規則性をみつけて(1)と(2)を解いて みたのですが、それでは(1)と(2)に関しては成り立たず、分子と分母が逆に なってしまいました…。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫√((1 - x)/(1 + x))dxの解き方
46歳の会社員です。1 年前から数学を独学で勉強しています。 どうしても解けない不定積分の問題があり、投稿しました。 ∫√((1 - x)/(1 + x))dx の解き方がどうしても分かりません。 本には答えだけ √(1 - x^2) + arcsin(x) (arcsin は sin の逆関数の意味です) とあり、解き方は載っていません。 自分なり解いてみましたが、 t = √((1 - x)/(1 + x)) とおくと x = (1 - t^2)/(1 + t^2) dt/dx = -1/(√((1 - x)/(1 + x)) * (1 + x)^2) = -1/(t * (1 + (1 - t^2)/(1 + t^2))^2) = -1/(t * (2/(1 + t^2))^2) dx = -t * (t * (2/(1 + t^2))^2) dt = (-4 * t)/(1 + t^2)^2 dt 与式 = ∫t * ((-4 * t)/((1 + t^2)^2)) dt = -4 * ∫(t^2)/((1 + t^2)^2) dt = -4 * ∫(1 + t^2 - 1)/((1 + t^2)^2) dt = -4 * (∫1/(1 + t^2) dt - ∫1/((1 + t^2)^2) dt) = 4 * (∫1/((1 + t^2)^2) dt - ∫1/(1 + t^2) dt) = 4 * ((1/2) * (t/(1 + t^2) + arctan(t)) - arctan(t)) = (2 * t)/(1 + t^2) - 2 * arctan(t) = √(1 - x^2) - 2 * arctan(√((1 - x)/(1 + x))) ここで行き詰まってしまいました。 本の答えとは arcsin(x) の部分が -2 * arctan(√((1 - x)/(1 + x))) と異なります。 -2 * arctan(√((1 - x)/(1 + x))) をどうすれば、 arcsin(x) になるのか、私が公式を知らないだけなのか、 公式があるのであればどのようにして公式を導出すればよいのか、 それとも根本的に解き方が誤っているのかご教示いただけないでしょうか ?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど。 0は何度微分しても0ですけど、 常に (x^α)' = α x^{α-1} で考えるとそうですね。 積分のほうは、 分母のnが0になる「隙間」を埋めるという考え方ですね。 これも、なるほど、です。 ありがとうございます。