行列式の定義式

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
の明示的な定義の式の意味がよく分かりません。
分かりやすく説明していただけないでしょうか、お願いします。

回答No.1

tinantum · ベストアンサー

Ｗｉｋｉｐｅｄｉａから略して抜粋：
『n次正方行列Xのi行j列成分をx_{ij}で表せば，Xの行列式 det X は
det X ≒ Σ_{σ∈Θn} sgn(σ)x_{σ(1)1}x_{σ(2)2} … x_{σ(n)n}
で与えられる．ただし，Θnはｎ次置換全体，sgnは置換の符号．』

丁寧に定義を一つ一つおさらいして説明してみます．

(1)『Θnはｎ次置換全体』
Θnは，(1,2,3,…,n)の要素の順番を入れ替えたもの全体の集合です．
(1,2,3,…,n)の並び方の場合の数だけ要素があるので，Θnの要素の数はn!です．例えば，n=2では，Θ2は
(1,2), (2,1)
の２つの要素を持ち(2=2!)，
n=3ですと，Θ3は
(1,2,3)，(1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)
の６つの要素があります(6=3!)．
Θnの要素をσで書くと，σ(i)でσのi成分目を現します．
例えばσ = (2,1,3)のとき，σ(1)=2,σ(2)=1,σ(3)=3,などです．

(2)『sgnは置換の符号』
任意の σ ∈ Θn は，(1,2,…,n)の要素の順番を並び替えたものですので，一つずつ順番を入れ替える（置換する）ことで(1,2,…,n)の並び方に戻すことができます．sgn(σ)は，偶数回の置換で(1,2,…,n)になるσの場合は＋1を，奇数回の置換で(1,2,…,n)になるσは－1をとるΘn上の関数です．
例えば n = 3で，σ = (3,1,2)のときは，ことで，
[1] 3と1を置換する
(3,1,2) → (1,3,2)　
[2] 2と3を置換する
と2度（偶数）の置換で(1,2,3)に戻るため，
sgn(σ) = 1
で，σ = (3,2,1)のときは，3と1を置換することで，
(3,2,1) → (1,2,3)
と一回（奇数）の置換で(1,2,3)に戻るため，
sgn(σ) = -1
です．（置換の方法は一意性はありませんが，必ず偶数なら偶数，奇数なら奇数回で戻せることがわかるため，well-definedな関数です．この部分の証明は必要です．）
ちなみに，σ = (1,2,3)の場合は，何もすることなく(1,2,3)ですから，0回（偶数）の置換と考えれば，sgn(σ) = 1です．

(3)『det X ≒ Σ_{σ∈Θn} sgn(σ)x_{σ(1)1}x_{σ(2)2} … x_{σ(n)n}』
和はΘnの要素全て（一般にn!個あります）に渡って和の中身
「sgn(σ) x_{σ(1)1}x_{σ(2)2} … x_{σ(n)n}」
を足しなさい，ということです．

具体的に定義に従ってみることにしましょう．

『n=2』の時：
Θ2の要素をσ=(1,2)とσ'=(2,1)しかありませので，
det X ≒ Σ_{σ∈Θ2} sgn(σ)x_{σ(1)1}x_{σ(2)2}
　 = (sgn(σ)x_{σ(1)1}x_{σ(2)2}) + (sgn(σ')x_{σ'(1)1}x_{σ'(2)2})
= ((＋1) x_{11}x_{22})+ ((-1)x_{21}x_{12})
= x_{11}x_{22} - x_{21}x{12}
になります．
『n=3』のときは，Θ3の全要素，(1,2,3)，(1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)に渡って定義に従うと
det X = (+1 x_{11}x_{22}x_{33}) + (-1 x_{11}x_{32}x_{23}) +
(-1 x_{21}x_{12}x_{33}) + (+1 x_{21}x_{32}x_{13})+
(+1 x_{31}x_{12}x_{23}) + (-1 x_{31}x_{22}x_{13})
になります．
以下任意のnのときも同様です．

Wikipediaにあるように，
det X ≒ Σ_{σ∈Θn} sgn(σ)x_{σ(1)1}x_{σ(2)2} … x_{σ(n)n}
= Σ_{σ∈Θn} sgn(σ)x_{1σ(1)}x_{2σ(2)} … x_{nσ(n)}
と列の部分の和を考えても値は一緒になります．証明してみてください．書くのに疲れました．

お礼

ありがとうございます。
例があって分かりやすかったです。
参考になりました。