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２つの単振動の組み合わせ

x=acos(ωt) y=bcos(ωt+φ) でφ＝π/4としたときに、点(x,y)は右回りの斜めの楕円運動、 φ＝－π/4のときは左回りの斜めの楕円運動をするということを 示したい。 http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/rikigaku/Lissajous/Lissajous.html 楕円運動をすることまではOKなのですが、どっちむきに回るのかを知るにはどうしたらいいのでしょうか。

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  • info22
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回答No.1

どちらに回転するかは位相の±で決まります。 x=acos(ωt)を基準にすると xはt=0から時間の経過とともに 位相ωtは0→π/4→π/2→3π/4→π→5π/4→3π/2→7π/4→2π と変化すると 振幅がa→a/√2→0→-a/√2→-a→-a/√2→0→a/√2→a (あとはこの繰り返し) このときy=bcos(ωt+π/4)の位相は π/4だけxより位相が進んでいますので yの位相(ωt+π/4)は π/4→π/2→3π/4→π→5π/4→3π/2→7π/4→2π→2π+π/4 となりyの振幅は b/√2→0→-b/√2→-b→-b/√2→0→b/√2→b→b/√2 と変化し「yの最大振幅が行過ぎた、振幅が減少した所からスタート」して yの振幅が変化します。 これが点が右回り（時計の針が回る方向）になる原因になります。 一方、 y=bcos(ωt-π/4) の場合はωtが0から増加するとき yの位相がωt=π/4となるときまではyの振幅が増加して最大値になります。つまり、xの位相に対してyの位相が(π/4)だけ遅れていますので yの最大値はxの最大値（t=0のとき）より遅れてやってきます。 つまり「yの最大振幅がxの最大振幅より遅れてやってきますので、yの振幅が増加する所からスタート」してyの振幅が変化します。 このため、点の運動は左周り（時計の針が回る方向と反対方向）になる原因になります。 お分かりでしょうか？ xに対してｙの位相の遅れや進みがxの振幅ピークに対してyの振幅ピークがそれぞれ、後からやってくる、すでに通り過ぎている差になって現れるため、点(x,y)の回転方向がそれぞれ左回転、右回転の違いになって現れるのです。

msndance
質問者

お礼

あわてず値をプロットしていけばよかったのですね・・・。 何度の回転行列をかけたら、 x'=acosωt y'=bsinωt の形にもっていけるのだろう、と悩んでいたのですが・・・ ありがとうございました。

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