- ベストアンサー
線形代数 一次独立について
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
合っていると思います！ ｎ次の正方行列Aについては ・ランクAがｎ ・detAが０でない ・Aは正則 が互いに同値です。 つまりランクが４である事意外にも 示せる方法はありますね。 もしくはよくあるのが Σ(ai*xi) = 0 ⇒ 全てのai = 0 とかも独立でよく使いますよね。
関連するQ&A
- 線形代数学の証明問題について…
a[i](i=1…k)をn×1のk個のベクトルであるとする。 (1)Ａをm×n行列とする。a[1],…,a[k]が線形従属とすると、Ａa[1],…,Ａa[k]も従属であることを証明せよ。 (2)Ａをｎ次正則行列とする。a[1],…,a[k]が線形独立とすると、Ａa[1],…,Ａa[k]も独立であることを証明せよ。 rankを持ち出したり、Σをつかってみたりしたのですが上手くいかなくて…。誰かお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数学（命題？？）
自然数ｎに対して、Ｉをｎ次単位行列とし、Ａをその行列式が０でない任意に与えたｎ次正方行列とする。n次正方行列ＸがＡの逆行列であるとは、ＸＡ＝Ｉを満たすこととする。この場合、ＸＡ＝Ｉが成立すれば、ＡＸ＝Ｉも成立する。この命題の証明に関して以下の問いに答えよ。 ＸＡ＝Ｉが成立しているものとする。そして、ベクトルa_1,a_2,・・・,a_n（ _ はaに下付きでnがついていることを表す）で行列Ａを構成するｎ個の列ベクトルを表すものとする。すなわち、(a_j)_iでベクトルa_jの第i成分を表し、Ａ_ijで行列Ａの第i,j成分を表すとすれば、i,j=1,2,・・・,nに対して、 (a_j)_i=A_ij となるものとする。また、ベクトル０およびＯで、それぞれ、全ての成分が０であるベクトルおよび行列を表すものとする。 (1)（ＡＸ－Ｉ）Ａ＝Ｏが成立することを示せ。 (2)ＸＡ＝Ｉを用いて、ベクトルa_1,a_2,・・・,a_nが、１次独立であることを示せ。 (3)一般に、ｎ次元ベクトル空間において、任意のｎ＋１個のベクトルは１次従属である。この関係と(2)の結果を用いて、ｎ次元ベクトル空間の任意のベクトルを、ベクトルa_1,a_2,・・・,a_nの１次結合で表すことができることを示せ。 (4)(3)の結果を用いて、任意のベクトルｙに対して、ベクトルｙ＝Ａｘ（ｘはベクトル）を満たすベクトルｘが存在することを示せ。 (5)ｎ次元ベクトル空間において、行列Ｂが任意のベクトルｆに対してＢｆ＝０（ｆと０はベクトル）を満たすならば、Ｂ＝Ｏとなることを示せ。 (6)(1)と(4)の結果を用いて、任意のベクトルｙに対して、(ＡＸ－Ｉ)ｙ＝０が成立することを示せ。さらに、(5)の結果を用いて、ＡＸ＝Ｉが成立することを示せ。 上で示した問題に関する質問です。 (1)を解くにあたって、ＡＸにＩを代入するとダメですか？ 文章には、「この命題の証明に関して以下の問いに答えよ」とあるので、この問題全体はＡＸ＝Ｉということを証明する問題で、それぞれの問題を解くのにこれは使用したらダメなのかなと思ってしまったのですが…。 どうなのでしょうか？ もしダメならば、(1)の問題は、どのように解いていくのがベストなのでしょうか。 また、他にも文章中に出ている条件で使用してはいけないものってあるのでしょうか。 よく分からない問題です。 (1)に関して、もしＡＸ＝Ｉを代入してよいのならば、(1)で示されている 式が成立するのは一目瞭然ですし・・・ 他の問題に関しても何かヒントをいただけるとうれしいです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題です。次のベクトルが一次従属か一次独立か。
(1) ( 0) (-1) a=(0) c=( 1) d=( 0) (1) (-1) ( 1) 拡大係数行列にして、行基本変形をしたら (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) となり一次独立。 これはわかりました。 (1) (2) a=(0) b=(1) (1) (1) この問題をやると (1 0 1 0) (0 1 -1 0) となり、よくわかりません ちなみにこれは一次独立らしいです。 また (1) ( 2) ( 0) a=(0) b=( 1) c=( 1) (1) (-1) (-1) この問題をやると (1 0 1 0) (0 1 -1 0) (0 0 0 0) だと一次従属らしいです。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 私が解いてみた、線形空間の問題を確認してください
問題は、 R⁴のベクトル、 |1 | |3 |=a1 |2 | |-4| |7 | |-1|=a2 |4 | |0 | |1 | |0 |=a3 |-2| |3 | |0 | |5 |=a4 |-3| |0 | について、 (1)1次独立なベクトルの最大個数rを求めなさい。 (2)r個の一次独立なベクトルを求め、他のベクトルをこれらの一次結合で書きなさい という問題です。 私が解いてみた答えなのですが、 (1) まず行列(a1,a2,a3,a4)を作り、 1 7 1 0 3 -1 0 5 2 4 -2 -3 -4 0 3 0 とし、これを行基本変形して、 1 7 1 0 0 -2 2 5 0 0 1 2 0 0 0 0 となるので、0でない行の個数は3なので答えは3。 (2) 前問の 1 7 1 0 0 -2 2 5 0 0 1 2 0 0 0 0 をさらに行基本変形すると、 1 0 0 3/2 0 1 0 -1/2 0 0 1 2 0 0 0 0 となる。 よって答えは、 一次独立なベクトルはa1,a2,a3 他のベクトルはa4=(3/2)a1-(1/2)a2+2a3 と解いたのですが、答えはこれであっているでしょうか？ 確認をお願いいたします。 もし間違っていたら、正しい解き方を教えて下さい お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数 ベクトル空間と行列（ランク）の証明
証明のやり方がよくわからなかったので次の２つの証明のやり方を わかる方どうか教えてください。 １、 Aを（ｍ、ｎ）行列 Bをｎ次の正則行列 Cをｍ次の正則行列とするとき rank（CAB）＝rank（AB）＝rank（A） を示す。 ２、 UをK上の有限次元ベクトル空間、WをUの部分ベクトル空間とする。 a1,a2,,,,,arをWの基底とするとWの次元がｒということを示す。 この２つです。どちらか片方だけでもいいのでもし分かるかたがいたら よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形結合がわかりません
ベクトル a=(1,-1,3) b=(-2,2,-6) c=(3,3,3) d=(2,4,0) e=(2,1,3) の中から適当に一次独立なベクトルの組を選び、残りのベクトルをそれらの一次結合で表せ という問題があるのですが、ベクトルを並べて行列を作り、行基本変形をするまではわかるのですがその後の操作がわかりません。どなたか教えて下さい。おねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形独立のついて教えてください
2 0 4 行列a= 1 2 2 3 5 6 の列ベクトルのうち線形独立は２個あるらしいのですが、なんでそうなるのかわかりません。 できれば詳しく教えてもらいたいです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数 ランクと正則について
線形代数の問題です a、bはそれぞれｎ次縦ベクトル（ｎは２以上） (1)n×ｎ行列「ab*」はランクが１を示せ （*は転置を表す） (2)n×ｎ行列「I－ab*」が正則となる必要十分条件は 「(a*)b＝１」とならないことを示せ。 （Iはｎ×ｎ単位行列） という問題です。 (1)は出来たのですが それをどう使って(2)を解いていいのか解りません；； お願いします☆
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数学についての質問です
線形代数学についての質問があるのですが、 行列Ａはｍ×ｎで行列Ｂはｎ×ｐです。 ＡとＢの列は線形独立だということが分かっています。 この時、積ＡＢはｍ×ｐになりますが、積ＡＢの列も線形独立になるのでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。若干不安が残っていたもので。 すっきりしました。