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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:私が解いてみた、線形空間の問題を確認してください)

線形空間の問題を解いてみた!一次独立なベクトルの最大個数と他のベクトルの書き方は?

このQ&Aのポイント
  • 私が解いてみた、線形空間の問題を確認してください。問題はR⁴のベクトルについて、1次独立なベクトルの最大個数rを求めるというものです。
  • 私が解いてみた答えによると、行列の行基本変形を行った結果、最大個数rは3であることがわかりました。
  • また、一次独立なベクトルを求めると、a1、a2、a3がそれになります。他のベクトルはa4=(3/2)a1-(1/2)a2+2a3という式で書くことができます。

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  • yyssaa
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回答No.1

>同じことですが、行列は書き難いので ↑a1=(1,3,2,-4)、↑a2=(7,-1,4,0)、↑a3=(1,0,-2,3)、↑a4=(0,5,-3,0) と書いて (1)1次独立なベクトルの最大個数rを求めなさい。 >p↑a1+q↑a2+r↑a3=(p+7q+r,3p-q,2p+4q-2r,-4p+3r)=0 を満たす定数p,q.rを求めると q=3p、p+7q+r=p+21p+r=22p+r=0、r=-22p、-4p+3r=-4p-66p=-70p=0、 p=0、q=0、r=0。 以上からp↑a1+q↑a2+r↑a3=0ならp=q=r=0なので、 ↑a1,↑a2,↑a3の組は一次独立である。 p↑a1+q↑a2+r↑a3+s↑a4=(p+7q+r,3p-q+5s,2p+4q-2r-3s,-4p+3r)=0 を満たす定数p,q,r,sを求めると 3r=4p、r=(4/3)p、p+7q+r=p+7q+(4/3)p=(7/3)p+7q=0、q=-(1/3)p 3p-q+5s=3p+(1/3)P+5s=(10/3)p+5s=0、s=-(2/3)p 2p+4q-2r-3s=2p-(4/3)p-(8/3)p+2p =(6/3)p-(4/3)p-(8/3)p+(6/3)p=(6-4-8+6)p/3=0p/3=0はp≠0で成り立つので、 ↑a1,↑a2,↑a3,↑a4の組は一次従属である。 以上から1次独立なベクトルの最大個数r=3・・・答 (2)r個の一次独立なベクトルを求め、他のベクトルをこれらの一次結合で書きなさい >(1)でp=3とすると、q=-(1/3)p=-1、r=(4/3)p=4、s=-(2/3)p=-2だから p↑a1+q↑a2+r↑a3+s↑a4=3↑a1-↑a2+4↑a3-2↑a4=0 よって ↑a1=(1/3)↑a2-(4/3)↑a3+(2/3)↑a4 ↑a2=3↑a1+4↑a3-2↑a4 ↑a3=-(3/4)↑a1+(1/4)↑a2+(1/2)↑a4 ↑a4=(3/2)↑a1-(1/2)↑a2+2↑a3

noname#246158
質問者

お礼

なるほど、こういう方法もあるんですね。 ありがとうございます

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