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ベクトルの問題 数学IIB
正三角形ABCの二辺AB、BC上に点P、QをAP:PB=1:1、BQ:QC=2:1となるようにとる。点Aから直線PQに垂線AHを引く。このとき、ベクトルAHをベクトルAB、ベクトルACを用いて表せ。 この問題でもう3時間ちかく悩んでいるのですが・・・まったく解ける気配がゼロなので質問させていただきます。 ベクトルAB=ベクトルx、ベクトルAC=ベクトルyとしてこれを用いてベクトルAQ、QPを表すことはできました。 ・・・がこれ以上どうやっても先に勧めません。 どなたかヒントをください! よろしくおねがいします。
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AD//BC、BC=2ADである四角形ABCDがある。点P,Qが ↑PA+2↑PB+3↑PC=↑QA+↑QC+↑QD=↑0 を満たすとき、 (1)ABとPQが平行であることを示せ。 (2)3点P,Q,Dが一直線上にあることを示せ。 (1) AD//BC,BC=2ADから ↑BC=2↑AD=2↑AD ↑AC-↑AB=2↑AD ↑AC=↑AB+2↑AD・・・(1) さらに↑PA+2↑PB+3↑PC=↑0から、 (↑AA-↑AP)+2(↑AB-↑AP)+3(↑AC-↑AP)=↑0 6↑AP=2↑AB+3↑AC (1)を代入すると 6↑AP=2↑AB+3(↑AB+2↑AD) =5↑AB+6↑AD ↑AP=(5/6)↑AB+↑AD・・・(2) また、↑QA+↑QC+↑QD=↑0から (↑AA-↑AQ)+(↑AC-↑AQ)+(↑AD-↑AQ)=↑0 3↑AQ=↑AC+↑AD (1)を代入すると、 3↑AQ=(↑AB+2↑AD)+↑AD =↑AB+3↑AD ↑AQ=(1/3)↑AB+↑AD・・・(3) ここで、↑PQ=↑AQ-↑AP を 計算すると(2)、(3)より、 ↑PQ={(1/3)↑AB+↑AD}-{(5/6)↑AB+↑AD} =(-1/2)↑AB・・・(4) ∴ ↑PQ=(-1/2)↑AB よって、ABとPQが平行である。 (2)3点P,Q,Dが一直線上にあることを示せ。 ↑PD=↑AD-↑AP (2)を代入して、 ↑PD=↑AD-{(5/6)↑AB+↑AD} =(-5/6) ↑AB =(5/3)↑PQ よって、3点P,Q,Dは一直線上にある こうやると教えてもらったんですけど、合っていますか? こういうタイプの問題はとりあえず基準点を定めて位置ベクトルに直せばいいんですか? それとも他にいいやり方があるんですかね?(x_x;)
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