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調和振動子の規格化の時の積分公式を教えてください。
∫[∞～-∞]exp(-x^2/b^2)=π^(1/2)b ∫[∞～-∞]x^2exp(-x^2/b^2)=π^(1/2)b^3 []は積分範囲です。 だそうです。 上式のようにxの指数が１乗した時と３乗した時しか分かりません。 ｘの指数をn乗した時（下式） ∫[∞～-∞]x^nexp(-x^2/b^2)=? の場合を教えてください。
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奇数の場合は被積分関数が奇関数になりますから、[∞～-∞]の積分範囲なら当然ゼロですね。 気がつかずに質問文のままコピーしてしまいましたが、 奇関数の場合は積分範囲が[∞～0]である時だけ積分する意味がありますので ∫[∞～0] ｘ exp(- a x^2)dx からスタートです。
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- hitokotonusi
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上の式は0乗と二乗ですが…それはおいといて 調和振動子に限った話ではないですが 1. 指数関数exp(-x^2/b^2)を微分すると (exp(-x^2/b^2)) ' = -(2/b^2) x exp(-x^2/b^2) であることを利用し ∫[∞～-∞] x^n exp(-x^2/b^2) dx = ∫[∞～-∞] x^(n-1) x exp(-x^2/b^2) dx = -(b^2/2)∫[∞～-∞] x^(n-1) (exp(-x^2/b^2))' dx から部分積分を繰り返すことで求める。 2. a=1/b^2 とすると最初の式は ∫[∞～-∞]exp(- a x^2)dx = (π/a)^(1/2) この左辺をaで微分すると (d/da)∫[∞～-∞]exp(- a x^2)dx = -∫[∞～-∞] x^2 exp(- a x^2)dx となるので、両辺をn回aで微分するとx^2nの場合が求められる。 xの冪が奇数の場合は∫[∞～-∞] ｘ exp(- a x^2)dx からスタートする。 このどちらかで求めます。 公式だけが知りたいなら、公式集などを見ましょう。
補足
そうですね。 ０乗と２乗の間違いですね（汗） 1番の場合なんですけど、n=1の場合 ∫[∞～-∞]xexp(-x^2/b^2)dx=-(b^2/2)∫[∞～-∞](exp(-x^2/b^2))'dx=-(b^2/2)[exp(-x^2/b^2)][∞～-∞]=0 になっちゃう気がするんですけど、もし分かったら教えてください。 2番の場合は解けましたけど、∫[∞～-∞]xexp(-x^2/b^2)dxの答えが分からないので、奇数の場合が求まりません（ＴＴ）
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