この積分が計算できません

質問

∫{exp(-x^2)/x}dx

積分範囲はx=0～+∞です。上式のような書き方では分かりづらいかもしれませんが、他にいい書き方が思いつきませんm(__)m　補足しておきますと、分子がexp(-x^2)で分母がxです。

かなり考えているのですが、どうやって解けばよいのかが全然分かりません。ヒントだけでも結構ですので、どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

siegmund · ベストアンサー

No.2 の siegmund です．
少しコメントさせていただきます．

No.3 の mmky さんのご回答：
mmky さんの計算は，被積分関数を複素関数 {exp(-z^2)/z} とみなし，
積分路を変形(z=0 の極を上に避ける，あるいは z を z+iεとする，
εは無限小の正の量)としたことになっています．
もともとの積分路は z=0 から実軸に沿って無限まで行うものですが，
z=0 が極そのものですから，こういう積分路変形は許されません．
大体，もとの積分は実数のはずなのに，
(πi)/2 という虚数が出て来るところが変ですね．
この虚数部は極を上に避けた積分路の部分から来ています．

では，私が前に発散すると言った話との関連はどうなっているのか？
mmky さんの積分路は，実軸に沿って -∞から +∞まで，z=0 の極は上に避ける，
というものです．
したがって，上に避けた半円以外の部分は
(1)　　∫{-∞～-ε} {exp(-x^2)/x} dx + ∫{ε～+∞}{exp(-x^2)/x} dx
という，いわゆる principal part をとった積分です．
これですと，x=0 付近の対数発散は２つの積分でちょうどキャンセルします．

こういう計算を簡単にするためによく使われる演算子公式がありまして
(2)　　1/(x + iε) = P(1/x) - iπδ(x)
(3)　　1/(x - iε) = P(1/x) + iπδ(x)
というものです．P は principal part を取る意味．
δ(x) はデルタ関数．
今の問題ですと，(2)を使えば，princial part は上に述べた理由で消え，
(4)　　∫{-∞～+∞} exp(-x^2) δ(x) dx = 1
から本質的に mmky さんの答が出てきます(積分区間半分に注意)．
(2)を使うことは極を上側に回避することに対応し，
(3)なら極を下側に回避することに対応します．
極を下側に回避すれば，虚数部の符号が逆になります．

KENZOU さんのご回答：
式変形は書かれているとおりです．
x^2＝t とするほうが普通で，これから出てくる
(5)　　-∫{z～∞} {exp(-t)/t} dt = Ei(-z)
は積分指数関数と呼ばれています．
KENZOU さんが書かれているように，初等関数では表されません．
z を実数にして z→0 とすると対数発散しますが，その理由は No.2 で
述べたとおりです．

お礼

こんなに難しい問題だとは思ってもいませんでした。習ってもいない用語ばかりがでてきてちょっとテンパってます。皆さんから頂いた回答をよく読んで、参考書なども読んでなんとか理解しようと思います。貴重な回答をありがとうございました。

回答No.4

KENZOU

-x^2＝tとすると
-2xdx＝dt
となります。この式の両辺をx^2で割ると
-2(1/x)dx＝(1/x^2)dt＝-(1/t)dt
となりますね。これを与式に代入すると
∫{exp(-x^2)/x}dx＝∫{exp(t)/t}dt
と書くことができます。ところでこの積分は初等関数(有理関数、無理関数、三角関数、対数関数、等）では求まりません。確かガンマー関数みたいなものになると思います。←自信なし(^^);;

お礼

僕はその置換をしたところまでは導いたのですが、そこから後に何をすればよいのかがわかりませんでした。ガンマ関数・・・、聞いたことないです。本で調べてみることにします。

回答No.3

mmky

参考程度に

複素積分使わないと難しいかもですね。
x=0で、f(x)={exp(-x^2)/x}→∞　に発散しますから、x=0 の近傍を外して積分する方法ですね。
第一、第二象限に半円を描き、x=0, の周りに半径εの半円を描き、円周に沿って積分すると、
極は除いているので、周回積分＝0
∫[c]{exp(-z^2)/z}dz =0
大きな半円はｚ=R,　
R→∞, ∫[R]{exp(-R^2)/R}dz →0
小さな半円は、向きを考えると（-πi)
x軸方向（ε→∞）、とマイナスx軸方向（－∞→－ε）の積分は大きさが同じで方向が逆ということだけだから、
2∫[ε→∞]{exp(-x^2)/x}dx -（πi)=0
ε→0, とすれば、
∫{exp(-x^2)/x}dx =(πi)/2
という感じになりますかね。

お礼

複素積分なんてものがあるのですね。初めて聞きました（爆）　本でいろいろ調べてみようと思います。回答していただきどうもありがとうございました。

回答No.2

siegmund

積分は発散します．
発散の原因は x=0 付近です．
被積分関数の主要な振る舞いは x=0 付近で 1/x ですから，
積分すれば対数的に発散します．

お礼

確かに発散しますね。こんな積分、数学の講義でもやったことないです。

回答No.1

yomo3

困り度３なので、取り急ぎ。
自然対数は微分しても積分しても変化しない関数ですね。
それから、関数の中に関数があるというのは媒介変数を使って考える例題が教科書に載っているはずです。
あと、媒介変数を使うときは、
dx
--　を分数と考えて
dy
約分していくとわかりやすいんじゃないかと思います。
詳しく書く余裕がないので、コレぐらいでお許しください。

お礼

媒介変数というのは置換積分のことでしょうか？ -x^2 を y と置換して計算をしましたが、やはり途中で行き詰ってしまいました。