LCP回路 の計算

質問

学校で出された問題がどうしても解けなく、教えてもらいたいのです！！！

R＝１００ｋΩ、C＝１００ｎFのRC回路でLPFを作った。

１) 入力が１００sin(１００ｔ)[V] の際、出力の振幅は何Vなのか？その式は？　A.７０V、７０sin(１００ｔ－π/４)[v]

２)　入力が１００sin(ｔ)[v] の際、出力の振幅は何Vなのか？
　　Ａ．約１００Ｖ

分かりやすく、教えてください　(´・ω・`)

回答No.3

inara · ベストアンサー

ANo.2です。
わざと変な計算方法で書きましたが、本来は以下のように、コンデンサのインピーダンスを 1/( j*ω*C ) とおいて、四則演算でやるほうがはるかに簡単ですです。しかし、vain-dream さんの質問に７０sin(１００ｔ－π/４) という形が出ていたので、ANo.2 のほうかなと思った次第です。

コンデンサのインピーダンスを 1/( j*ω*C ) とおけば、ANo.2 と同じように
　　　Vin - Vout = i*R --- (1)
　　　Vout = i/( j*ω*C ) --- (2)
式(1)から i = ( Vin - Vout )/R
これを式(2)に代入すば
　　　Vout = ( Vin - Vout )/( j*ω*C*R )
　　　→ Vout = Vin/( 1 + j*ω*C*R )
このような複素数表現の場合、
　　振幅 = √( 実部^2 + 虚部^2 )
　　位相 θ = arctan( 虚部/実部 )
で表わされます。

式(1)を、実部 + j*虚部 の形にするために、右辺の分子と分母に 1 - j*ω*C*R をかけると
　　　　Vout = Vin*( 1 - j*ω*C*R )/{ 1 + (j*ω*C*R ) ^2 }
　　　　　　　 = Vin/{ 1 + (j*ω*C*R ) ^2 } + j*[ - ω*C*R*Vin/{ 1 + ( ω*C*R ) ^2 } ]
なので、実部 = Vin/{ 1 + ( ω*C*R ) ^2 }、虚部 = - ω*C*R*Vin/{ 1 + ( ω*C*R ) ^2 } となります。

したがって、Vout の振幅と位相は
　　振幅 = √( 実部^2 + 虚部^2 ) = Vin/√{ 1 + ( ω*C*R ) ^2 }
　　位相 = arctan( 虚部/実部 ) = arctan( - ω*C*R )

お礼

分かりやすく書いていただきありがとうございます。

これらに数字を入れて計算をしてみますm(_ _)m

回答No.2

inara

表題は 「LPF回路の計算」の間違いですね（表題に誤字がある質問が散見されます）。

回路は下図のようなものだと思います。

　　　　　i →
　Vin ─ R ─┬── Vout
　　　　　　　　 C ↓i
　　　　　　　　 ┷
　　　　　　GND (0V)

入力電圧を Vin [V]、回路に流れる電流を i [A] とすれば、電流 i は抵抗 R [Ω] とコンデンサ C [F] にしか流れないので
　　　Vin - Vout = i*R --- (1)
　　　Vout = 1/C*∫i dt --- (2)
式(1)から i = ( Vin - Vout )/R
これを式(2)に代入すば
　　　Vout = 1/C*∫( Vin - Vout )/R dt
この両辺を時間 t で微分すれば
　　　dVout/dt = 1/C*( Vin - Vout )/R
整理すれば
　　　CR*dVout/dt + Vout = Vin --- (3)
となります。Vin = V0*sin( ω*t ) のとき、この微分方程式を Vout についてまともに解くと結構大変です。

しかし、Vout は最終的には Vout = V1*sin( ω*t + θ ) の形になります。振幅と位相 は Vin から変化しますが、線形回路なので角周波数 ω は変わらないからです。したがって
　　　dVout/dt =V1*ω*cos( ω*t + θ )
となります。これと Vin = V0*sin( ω*t ) と Vout = V1*sin( ω*t + θ ) を式 (3) に代入すれば
　　　C*R*V1*ω*cos( ω*t + θ ) + V1*sin( ω*t + θ ) = V0*sin( ω*t ) --- (4)

三角関数の和の公式から
　　　cos( ω*t + θ ) = cos( ω*t )*cos( θ ) - sin( ω*t )*sin( θ )
　　　sin( ω*t + θ ) = sin( ω*t )*cos( θ ) + cos( ω*t )*sin( θ )
なので、これらを式 (4) に代入すれば
　　　C*R*V1*ω*｛ cos( ω*t )*cos( θ ) - sin( ω*t )*sin( θ )　｝ + V1*{ sin( ω*t )*cos( θ ) + cos( ω*t )*sin( θ ) } = V0*sin( ω*t )
これを cos( ω*t ) と sin( ω*t ) の項でまとめれば
　　　V1*{ C*R*ω*cos( θ ) + sin( θ ) }*cos( ω*t ) - [ V1*{ C*R*ω*sin( θ )　- cos( θ ) } + V0 ]*sin( ω*t ) = 0

この式はどんな t でも成立するはずなので、 cos( ω*t ) と sin( ω*t ) の係数は共にゼロ、つまり
　　　C*R*ω*cos( θ ) + sin( θ ) = 0 --- (5)
　　　V1*{ C*R*ω*sin( θ )　- cos( θ ) } + V0 = 0 --- (6)
のはずです。したがって、式(5)から
　　　tan( θ ) = -C*R*ω　→ θ = arctan( -C*R*ω )　　--- arctan は tan の逆関数
式(6)から
　　　V1 = V0/{ cos( θ ) - C*R*ω*sin( θ ) }
なので、結局
　　　Vout = V0/{ cos( θ ) - C*R*ω*sin( θ ) }*sin( ω*t + θ )　　ただし θ = arctan( -C*R*ω )　--- (7)

【答え】
１）　入力が１００sin(１００ｔ)[V] の際、出力の振幅は何Vなのか？

　　　R = 100×10^3 [Ω]、C = 100×10^(-9) [F]、ω = 100 [rad/s] のとき C*R*ω = 1 なので
　　　　　　θ = -π/4　→ sin( θ ) = -1/√2、cos( θ ) = 1/√2
　　　V0 = 100 [V] だから
　　　　　　Vout [V] = 100/{ 1/√2 -1*( -1/√2 ) }*sin( 100*t - π/4 ) = 50*√2*sin( 100*t - π/4 ) ～ 70*sin( 100*t - π/4 )

２)　入力が１００sin(ｔ)[v] の際、出力の振幅は何Vなのか？
　　　ω = 1 [rad/s] の場合なので、C*R*ω = 0.01 → θ = arctan( -0.01 )
　　　θ が1より十分小さいとき、 sin( θ ) ～ θ、cos( θ ) ～ 1 と近似できるので、tan( θ ) ～ θ、つまり θ = arctan( -0.01 ) ～ -0.01
　　　したがって
　　　　　　Vout [V] = 100/{ 1 - 0.01*( -0.01 ) }*sin( t - θ ) = 100/( 1 - 0.0001 )*sin( t - θ ) ～100*sin( t - θ )

お礼

大変参考になりました。
また自分で解いてみます。
ありがとうございましたヾ(´ー｀)ノ

回答No.1

himara-hus

流れる電流をｉとおいて、ＲとＣの電圧を求めます。
その電圧の合計が入力電圧になります。
それからｉを求め、コンデンサの両端にかかる電圧を求めれば良いです。

補足

これで解いた式はどうなりますか？

ちょっと、分かんないです(>_<)