場合の数の問題で・・・

質問

場合の数の問題で、少し疑問に思うことがあったので質問致しました。

　０、１、２、３、４、５の数字から異なる４つの数字を取って並べて４桁の整数を作るという問題で、例えば「２３００より小さい数はいくつあるか」と聞かれたとき、問題集には「全体の数ー２３００より大きい数」として求めると書いてあります。
　小さい数を直接求めてはいけないのでしょうか？（１で始まる４桁の整数の数と、２で始まって次が０、１、２になる４桁の整数の数を求めるやり方をしました。）
　どうして大きい数をひくやり方でないといけないのでしょうか？
　実際、問題集に書かれている方のやり方ならば答えは合いますが、小さい方を直接求めるやり方（と自分は思っていますが、それが既に間違っているのかもしれないとも思っています）では答えが違ってしまいます。
　どうして、まずは大きい数を求めなければならないのでしょうか？

回答No.5

moerm

確かにこの問題は小さいほうを先に求めたほうが早いですね。
たぶん問題集に大きいほうの数を求めて・・・と書いてあったのは、このようなパターンの問題の多くは求める数字と逆の数字を求めてから引き算したほうが速いからです。
この問題は少々例外ですね。

まず解答は　

全ての数は
４×４×３×２＝９６
(０は１０００の位に持ってこれないので)

２３００以上を先に計算すると
・千の位が１の場合
　４×３×２＝２４
　で２４通りです。
・千の位が２の場合
　100の位が０・１の２通りなので(100の位に２を持ってこれないのは、同じ数字を２度使えないため)
　３×２＝６
　６×２＝１２
　で12通りです。

よって９６－２４－１２＝６０こ

気づいたとおもいますが、あなたの解答がなぜ間違ってたかというと、

・・・２で始まって次が０、１、２になる４桁の整数の数を求めるやり方をしました。
のところで２で始まる数にもう一度２は使えません。

問題にも「異なる４つの数字を取って
」と書いてあります。

回答No.4

Ishiwara

私も問題集がヘンだと思います。小さい数を求めるほうが簡単です。

回答No.3

Mr_Holland

直接求めても構いませんし、問題集のように「全体の数ー２３００より大きい数」という計算でも構いません。
　大抵の問題の場合、余事象（２３００より大きい数）を求めることで計算が楽になることが多いのですが、この問題では、どちらで解いても手間は同じように思います。（むしろ全体の数を勘定するだけ、余事象を求める手法の方が一手間多いようですが。）

　（全体の場合の数）＝5×5P3＝３００　通り

　（2300より小さい数の個数）＝3×5P3＋3×4P2＝２１６　通り

　（2300より大きい数の個数）＝1×5P3＋１×2×4P2＝８４　通り

　1×5P3　の考え方：
　　千の位が１で、残りの５つの数字で３桁の数字を作る。
　１×2×4P2　の考え方：
　　千の位が２で、百の位が０か１の２通りで、残り４つの数字で２桁の数字を作る。

　ただ、余事象や全体の場合の数を求めておくと、検算に使えるので、一通り計算しておいたほうがよいように思います。

回答No.2

KusutoFuna

小さい数を直接求めることも出来ます。
間違えてしまうのは恐らく
2で始まるパターンを考えるときに
次が0,1,「2」になるものを求めているからだと思います。
千の位で2は使用済みですので使えず、
百の位は0か1の二択になります。

回答No.1

noname#77845

「１で始まる４桁の整数の数と、２で始まって次が０、１、２になる４桁の整数の数を求めるやり方をしました。」
先頭が「０」で始まる数は、数えましたか？