掛け算「９」のなぞ。

質問

どういう風に質問したらよいか、言葉が難しいのですが・・・

１×９＝９
２×９＝１８
３×９＝２７
４×９＝３６
５×９＝４５
６×９＝５４
７×９＝６３
８×９＝７２
９×９＝８１

と、掛け算の「９の段」を挙げました。
その答えの数字の２桁を互いに足していくと、どうしてみんな「９」なのですか？

１＋８＝９　２＋７＝９・・・のように。

すごく判りやすく教えていただけますでしょうか？
お願いします。

回答No.5

ymmasayan · ベストアンサー

実は９の倍数の判定法がそれなんですよね。（２２２２１）は９の倍数です。
２２２２１／９＝２４６９。　　素晴らしい着想ですね。

こういう説明でいいかどうか自信はないですが、
２２２２１をａｂｃｄｅで表します。ａ×１００００＋ｂ×１０００＋ｃ×１００+ｄ×１０＋ｅが３の倍数であれば、
ａ×（９９９９＋１）＋ｂ×（９９９＋１）＋ｃ×（９９＋１）＋ｄ×（９＋１）ｅ
３の倍数を全て消すと残りはａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ…これは当然、３の倍数なのですよね。

お礼

ご回答、どうもありがとうございます。

判定法・・・そういうのが必要な時があるのですね。そうなんですか・・・
それ以外の数字の判定法もやはりあるのでしょうか？

この場合だと、「９」の倍数と「知っている」場合に有効ですか？
でも、知っているなら確認する必要もないし・・・
わたしの表現の仕方もまずい気もしますが、
「９」以前に「３」に着目すべきでしょうか？

マイナス１(言い換えると１プラスして位を上げる)をするのがポイントですが(皆さん同様にそれに触れられている)、
例えばマイナス２や、３などでも何か発見があるのでしょうか。
（今これについては、自分に考えるゆとりがありません）

常識なのか、これぞ数字の面白さなのか、よく分からなくなってます。
自分で質問したのに・・・スミマセン。

でも、色々な表現で皆さん教えていただいて助かります。

どうもありがとうございました！！

補足

分析中です、少々お待ちください　(*_*)

回答No.14

jun95

純粋に数学的な疑問だったのですね。
わたしは、chirorinrinさんのお子さんか誰かが不思議に思ったのかなと誤解していました。

つまり、左側は、１から９まで並んでいて、右側が９であるところだけ、右項の数字を分解して足すと、９になる不思議が疑問なのでないかと思いました。

たとえば、占いの一種である「数霊」は、１から９の数字になるまで、分解して足していきます。古代中国では、０という概念がなかったので、１から９の数字で完全な世界を表せると考えられていました。これが、現代の気学につながっています。

数学的な回答でなく、申し訳なかったのですが、私が考えたことの背景には、このようなことがありました。

お礼

はい、純粋に表も裏も無い、単純な疑問というか「あれ？」という気持ちから始まってしまったものです。

>chirorinrinさんのお子さんか――
まだ、ご結婚してませんのです。（してなくてもお子さんがいてもおかしくないか・・・）

>数学的な回答でなく、申し訳なかったのですが、
いえ、何も！！
わたしこそ、もともと「数学」としてとらえてませんでした。
一応カテゴリ「数学」にしただけであって、「算数」があればそちらに行ったはず。
もともと、こんなに難しく、奥が深い事があるなんて夢にも思ってなかったのです。単純な「すうじのふしぎ」って感じでした。(敢えてひらがな表記)

>小学生の方に説明するには、なかなか難しいですね。
と、前回添えていただいた時、もしかして勘違いされたかな？とも思いましたが、特にそれ以上の事は考えませんでした。だって、皆さんがちゃんと答えてくださったものを１つずつ自分なりに分析(なんて書いてしまうとカッコ良すぎますが)するので、いっぱいいっぱいでしたもの。

>古代中国では、０という概念がなかったので、
>１から９の数字で完全な世界を表せると
また、面白い課題を出されてしまったようです。

jun95さん、再度のご登場ありがとうございました！！

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この疑問、以前からネットではなく友人などを直接捕まえては投げかけてきたんですけど「そういえば、そうだね」で終わってきた事だったのです。
今回ここで質問させていただいて本当に良かったです。
良かった、ここに参加してて。

回答No.13

ymmasayan

４回目です。
これで終わりにしますね。

＞　計算機で『１４２８５７』と打ってください。
＞　面白い物が見られます。
＞　既に知っている事だったら・・・・失礼致しました！！

これって本当に不思議なんですよね。宇宙の神秘を感じます。（！？）
実はこれ、１／７の循環小数…０．１４２８５７１４２８５７１４２８５７・・・
の頭６桁なんです。足し算していくとなぜだかおっしゃるような事になるのです。
数字って本当に不思議ですね。

私は普通人で、数学の不思議に少しだけ興味をもっている人間です。（あなたと同じです）　大変失礼しました。

お礼

こちらこそ、色々と教えていただきありがとうございます。

>これで終わりにしますね。
ちょっと、寂しい気がします。

>実はこれ、１／７の循環小数…０．１４２８５７１４２８５７１４２８５７・・・
そういうのもあるのですねー
あぁ、神秘、まさに今回わたしは神秘を体験させていただきました。
たくさんの方の応援で！！(殆ど応援していただいたのみでした！)

★ここを読んでくださった方、みんなが『１４２８５７』の計算を試みてくれると良いなぁ。

序の口なのでしょうね、まだまだこれからって感じです。

沢山、沢山、ありがとうございました！

回答No.12

poti2

いろいろな解答がでているのでなぜなるのかは
もう分かっているでしょう。
　だからここでは違う視点で見てみます。
前の方達も言われているようにこれは倍数判定法の特殊なものとして現れた
ものですね。
　でも少し視点をずらしてみるとこれは10進表記の倍数判定法だったのだと
気づきます。
　これと同じような現象はn進表記法で考えたｎ－１の倍数でも現れます。

たとえば７進法で6(=7-1)の倍数を考えて見ましょう。
　１×６＝６
　２×６＝１５
　３×６＝２４
　４×６＝３３
　５×６＝４２
　６×６＝５１
（７進表記で表しています。）
どうです、それぞれの桁の和は７になっているでしょう。
実はこの理由も前の方達が説明してくれたものと本質的に同じものです。

お礼

違う視点のご回答どうもありがとうございます！

そうですね、何人かの方も触れられていらっしゃいましたが、「１０進法」から基づき、このように表現されていました。

決して対抗するわけではありませんが、他の「○進法」だったら？と途中から頭をかすめましたが、ゆとりが無く実験もそして言い出すこともしませんでした。

でも、こうしてpoti2さんに改めて表記していただき、今まで「１０進法」で行なってきた考えが自分の中に更に奥深くに入っていってくれたようです。（なにせ、頭が固いものですから・・・）
今まで「面白い」と言いつづけてきましたが、そのことに余計実感しております。

おかしいですね、何の興味の無い時だったら「だから、何なの？」で終わってしまったのかもしれません。

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今、わたしは楽しい時期を過ごさせていただいております。皆様のおかげです。

回答No.11

ymmasayan

３度目の登場です。余計な事かも知れませんが。
桁ごとにばらばらにした数字を足す事に何かの後ろめたさを感じておられるようですが。
数学の歴史（人類の歴史？）はできなかったものを出来るようにすることと同じ位、もっと簡単に、早くできるようにという事が重要視されてきました。
「判定」が重要なのはその意味です。早くわかれば無駄な努力をしなくて済むわけです。台風の進路予報なども判定の１種といったら怒られるかも知れませんが。

いずれにしても、今回の問題提起は数学の種はどこにでも転がっている。又、数学は結構面白いものだという事を見せ付けてくれました。事実、たくさんの方が回答を寄せられています。

最後に、（ご存知だったらご免なさい）うるう年の判定法を。
「西暦が４００の倍数ならうるう年である。そうでない場合、４の倍数であって、しかも１００の倍数でない年もうるう年である」
ここでも倍数の判定が大活躍するのです。
もちろん１００の倍数の判定は下２桁が００ですが、４００の倍数の判定法は、ヒ・ミ・ツ。

補足

お世話かけます。
>余計な事かも知れませんが。
とんでもありません。とてもうれしい事です。
後ろめたさ・・・そんな感じを受けられますか？そうですね、「抵抗」があるみたいです。不思議すぎて、でしょう。
ymmasayanさんは、数学の研究をされている或いは勉強をされていた方ですか？
なんて、思います。

宿題・・・ちょっとやってみますので(分からないかも)時間を下さい。

あと、これ知ってますか？これは友人に教えてもらった「不思議」なんですが。
(有名な事かも・・？)
計算機で『１４２８５７』と打ってください。そしてそれに同じ数を足してください。更に足してください・・・と続けると面白い物が見られます。
途中、数の変化が出てきますが、合計するとこの数字なんですよ。
既に知っている事だったら・・・・失礼致しました！！

回答No.10

ymmasayan

＞判定法・・・そういうのが必要な時があるのですね。そうなんですか・・・
それ以外の数字の判定法もやはりあるのでしょうか？

あなたは、実は素晴らしい発見をされたのです。ただ、惜しいのは世界で最初ではなかったという事です。
２の倍数の判定法…下１桁が２で割れること。
３の倍数の判定法…全部の桁の数字を足して３で割り切れる事。
４の倍数の判定法…下２桁が４で割り切れる事。
５の倍数の判定法…下１桁が０または５である事。
６の倍数の判定法…２の倍数であって、かつ、３の倍数である事。
９の倍数の判定法…全部の桁の数字を足して９で割り切れる事。

もう一度言いますが、あなたは、最後の９の倍数の判定法を、独自に、世界で何番目かに発見されたのです。遅かったのが惜しいとはいえ、実におめでとう。

お礼

再び、ありがとうございます！！

＃９のMell-Lilyさんがご紹介くださったＵＲＬでも判定法、ありました。

今まで、「判定」なんて必要にも思ってませんでした。する機会もなかったし・・・

>あなたは、実は素晴らしい発見をされたのです。ただ、惜しいのは世界で最初ではなかったという事です。
へへって感じに照れますが、でもでも！！
わたし、自分で解決できないじゃありませんか！情けないですっ

何が何だか分からなくなってきてしまって、何なんでしょう？

何度もかいてますが、分かるけど分からなくなってしまった。

今だに並んでいる数字の間に「＋」を入れて、別々の数にしてしまう「行為」に納得してないのですけど・・・
自分で行なったのは足してみたら「あれれ？全部９になっちゃうよ、どうして？何これ？」と、あくまで「偶然」なのですけど。本当は分解するべき物でない物を偶然足してみただけなのですけど。

数字？算数？数学？って変ですね。
倍数つまり「規則」なので、何らかの「共通点」か・・・ブツブツ・・・

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それにしても皆さん、なんとも平然に答えていただきましたが、
なかなかわたし自身が追いつけず、大変でした！！

普段使ってなかった脳のどの辺りがフル活動したのでしょうか、という風です。

どうもありがとうございました！！！

回答No.9

Mell-Lily

「9の倍数である、二桁の自然数の十の位と一の位の和は、9の倍数である。」

【証明】
十の位がa、一の位がbである数nは、
　n = 10a+b
と表すことができる。すると、
　n = 10a+b = 9a+(a+b)
だから、nが9の倍数ならば、
　n = 10a+b = 9a+(a+b) = 9m
である。よって、a+bは9の倍数である。

これは、nが何桁の自然数でも、成り立つ事柄です。また、他にも、似たような例があります。≫参考ホームページ。

参考URL：

http://sanzyutsuman.arot.net/Pages/unit6.html

お礼

ご回答、どうもありがとうございます。

参考ＵＲＬの表示があったのは判ってたのですけど、もう頭がパニクッてて(下の方々へのお礼で分かると思いますが)これ以上別の情報をあえて入れないように、先に見たいけど、見ないようにしてました。そしてさっきやっと見てきました！

ymmasayanさんも触れていただいていましたが、「倍数の判定法」なる物があるのですね～
ほほーぅ、という感じでした。
普通に
>１＋５＋４＋３＋２＋６＝２１
のように足してましたね。

まだまだ、「不思議」「へん」というのが拭い去れないのが正直な気持ちです。

姓名判断で苗字・名前の画数を「８＋６＋９＋３」みたいに足していくのはいいのですが、
なぜに１が１５４３２６個集まっただけなのに、わざわざその間に＋を入れても良いのか？
自分で足しておきながらこれではどうしようもないのですが・・・

でもでも、参考ＵＲＬまで教えていただき、ありがとうございました。
じっくり見させていただきます。

補足

分析中です、少々お待ちください　(*_*)

回答No.8

jun95

１Ｘ８＝８　　－－＞８
２Ｘ８＝１６　－－＞７
３Ｘ８＝２４　－－＞６
４Ｘ８＝３２　－－＞５
５Ｘ８＝４０　－－＞４
６Ｘ８＝４８　－－＞１２
７Ｘ８＝５６　－－＞１１
８Ｘ８＝６４　－－＞１０
９Ｘ８＝７２　－－＞９

８は、２の公倍数なので、２の性質同じようになります。

１Ｘ３＝３
２Ｘ３＝６
３Ｘ３＝９
４Ｘ３＝１２　－－＞３
５Ｘ３＝１５　－－＞６
６Ｘ３＝１８　－－＞９
７Ｘ３＝２１　－－＞３
８Ｘ３＝２４　－－＞６
９Ｘ３＝２７　－－＞９

９の最大公約数である３の段になりますと、このような規則が見いだせます。「９の段」というのは、この３の性質のなかにある、９、１８、２７というのと同じになります。

なぜ、このようになるかは、１０進法という計算方法や素数という数字の基礎になるものを知らないときれいには説明しにくいのですが、なぜ、９の段を足すとこのようになるのかというのは、「偶然」なのです。

小学生の方に説明するには、なかなか難しいですね。

お礼

ご回答、どうもありがとうございます！

>１Ｘ８＝８　　－－＞８
>２Ｘ８＝１６　－－＞７
>３Ｘ８＝２４　－－＞６
>４Ｘ８＝３２　－－＞５
>５Ｘ８＝４０　－－＞４
>６Ｘ８＝４８　－－＞１２
>７Ｘ８＝５６　－－＞１１
>８Ｘ８＝６４　－－＞１０
>９Ｘ８＝７２　－－＞９
の部分ですが、
さらに合計すると・・・
>６Ｘ８＝４８　－－＞１２ 　－－＞３
>７Ｘ８＝５６　－－＞１１ 　－－＞２
>８Ｘ８＝６４　－－＞１０ 　－－＞１
になるのですね。

もう、「なんだこりゃ！？」って感じの気持ちにどっぷり浸かってます。
下のかたも触れていただいて下さいましたが、「３」がポイントでもあるのですね。

１０進法ですね。だからマイナス１だったりプラスしたり・・・

大変面白い「偶然」なのですね。
うーん、「きれいに説明」を受けたいのですけど、ちょっと、いっぱいいっぱいになってるかもしれません。わたし。

分からないわけじゃなく、分かっているつもりですけど、元気良く「よし、判ったぞっ！！！」と言えないビミョーな感じなんですね。

もう、いい大人なんですけどねぇ・・・

でも、別例を挙げていただいて判りやすかったです。
やはり「数字って面白い！」と言わせていただいて良いですよね？

どうも、ありがとうございました！！

補足

分析中です、少々お待ちください　(*_*)

回答No.7

yumori3

あくまでも個人の説明で、感覚的なものですが、
『そろばん』を使ったことはありませんか？
そろばんで考えると、感覚的に納得してもらえるかと思います。

そろばんは真ん中に枠があり、上部に１個、下部に４個の珠を
串刺しにした棒が並んでいます。
「０」のときは、上部、下部の珠は真ん中の枠からそれぞれ離しておきます。

「１」「１プラス１で２」・・・とそろばんで数を一つずつ増やして
表現してみましょう。
「１」で下部の珠を１個上に動かして真ん中の枠にくっつけます。
「１プラス１で２」でもう１個下部の珠を上に動かし・・・。

「４プラス１で５」では下部の珠をすべて下側に動かして真ん中の枠から離し、上部の珠を下に動かして真ん中の枠にくっつけます。

「９」になると、串刺しの珠が上下とも真ん中の枠にくっつきますね。
これで五個の珠が真ん中の枠に集まっています。

「１０」だと、この集まった珠をすべて外側へ動かして真ん中の枠から離し、
左隣の棒の下部の珠を１個上に動かします。
今までの珠の棒が「一の位」の棒で、
左隣に順に「十の位」「百の位」・・・と並んでいます。
（真ん中の枠には串刺しの棒四本ごとに目印の点があり、
一や十などの位の位置を示しています）

さて、上記の『９の掛け算』ですが、言い換えれば、
「９プラス９」の『足し算』を何回したか、といえます。

これをそろばんで動かして見ますと、
真ん中の枠に集める珠は必ず、一と十の位の珠のうち５個だけです。
例えば４×９＝３６は　２７＋９＝３６で、
一の位の「７」の珠のうち１個を下へ動かして、
十の位の「２」の珠に、１個の珠を上に動かしてくっつける、という具合です。
だから、９の掛け算の答えの合計は、必ず９になるのが視覚的にわかります。
（説明が上手く伝わればよいのですが）

あくまでも視覚的なものですが、いかがでしょうか。

お礼

そろばん、あります、あります！！
今では「足し算・引き算」しか出来なくなってますが。

>真ん中の枠に集める珠は必ず、一と十の位の珠のうち５個だけです。
この１行、とても感激しました。
そして・・・
>十の位の「２」の珠に、１個の珠を上に動かしてくっつける、という具合です。
そうです、珠はいつも五個が動いていて左右の珠を合計すると９です。
人差し指と親指でドンドン足されていきます。

算盤の使い方の説明、ホントにどうもありがとうございました。
パソコンのマニュアル本のように大変だった事が伺えます。

確かに「視覚的」に物凄く判りました。久しぶりに頭の中に算盤が復活しました。

でも、「不思議さ」が残ります。不思議ですねー。面白いですねー。

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追加です！
今、「お礼する」ボタンを押す前に手許にあった計算機で確認しましたら、９９の上の１０８も全部足すと９だし、珠の数も５個なんですね！！！
素晴らしい！！それ以降もそうです！(全てではないようですが)
ああ、この気持ちどうしよう。やっぱり不思議で面白い！
こんな当たり前の事みたいなのに、自分ばかり感激してスミマセン！

どうもありがとうございました！

回答No.6

noname#6248

小学生でもわかるような説明を書いてみます。
１×９＝９
２×９＝９＋９＝１８
３×９＝９＋９＋９＝２７
４×９＝９＋９＋９＋９＝３６
ですよね？
１０－１＝９ですから
「９を足す」と言うのは「１０を足して１を引く」のと同じですよね？
これは
十の位が１増えて一の位は１減るんです。
だから９×１０＝９０までは成り立ちます…
９×１１からは駄目ですね…

お礼

こんばんわ

判りやすく教えていただいてます。でも・・・
>「９を足す」と言うのは「１０を足して１を引く」のと同じですよね？
そうなんです、そこまでは判ります(ああ、判ってないのかなぁ・・・)

でも、十の位と一の位は全く別物と考えてしまっている私なのですが、どうしてわざわざそれらを分解して足すと、９になってしまうのか。

わざわざ分解する必要も最初からないのですが・・・
なぜ、面白い現象になるのか。
ごめんなさい、これだけ言っていただいてもまだ「面白い」領域から離れられません・・・

４×１０－４
６×１０－６　・・・・

わたしってよっぽど「バカ」なんだなぁ、
なんで、皆さんの声がスッと入って来ないんだろうか・・・

あぁ、でも本当にありがとうございました。

回答No.4

acacia7

うぁ・・3番目になった挙句、間違えてるよ・・（；－；）

＞ＡＢ＝Ａ＋１０＋Ｂです。

ＡＢ＝Ａ＊１０＋Ｂです。
の間違え。

お礼

どうもありがとうございました！！

補足

訂正、ありがとうございます。
が、只今分析中です、少々お待ちください　(*_*)