台形

台形を以下の三つの図形に分解してみてください。

1. 1角が45度の直角三角形
2. 縦の長さh、横の長さ8の長方形
3. 1角が60度の直角三角形

　 ／|￣￣|＼
／＿|＿＿|＿＼　

すると、台形の底辺12センチは
1.の底辺＋2.の横の長さ＋3.の底辺＝12
になります。

1.の底辺ですが、45度の直角三角形なので高さと同じになります（＝h）
3.の底辺ですが、60度の直角三角形なので高さ÷tan60 （h/√3）

なので、h＋8＋（h/√3）＝12 となります。

投稿日時 - 2007-06-18 13:11:26

　台形ABCDにおいて、上底AD＝８cm、下底BC＝12cm、∠B＝60°、∠C＝45°とします。
　点Aから線分BCに下ろした垂線の足を点Eとし、同様に、点Dから線分BCに下ろした垂線の足を点Fとします。
　このとき、問題から台形の高さは ｈ とされていますので、
　　AE＝DF＝ｈ　　　・・・・・（A)
となります。

　さて、下底BCについて、次の式が成り立ちます。
　　BC＝BE＋EF＋FC　　　・・・・・・（B)

　線分BEの長さは、直角三角形ABEの底辺ですが、∠B＝60°ですので辺の比が有名な１：２：√３になります。
　　BE：AB：AE＝１：２：√３
　ここで、辺BEとAEだけに注目すると、
　　BE：AE＝１：√３
　∴BE＝AE/√３　＝ｈ/√３　　・・・・・（C)　（　式（A)より。）
となります。

　また、線分EFは、長方形AEFDの1辺ですので、向かい合う辺と長さが等しく、
　　EF＝AD＝８ (cm)　　　・・・・・（D)
となります。

　そして、線分FCの長さは、直角二等辺三角形FCDの直角を挟む1辺になっていますので、
　　FC＝DF＝ｈ　　　・・・・・・（E)　　（　式（A)より。）
となります。


　式（C),(D),(E)の結果を式（B)に代入しますと、
　　BC＝BE＋EF＋FC
　⇔BC＝ｈ/√３ ＋８＋ｈ
となりますが、問題よりBC＝12 (cm)ですので、これを入れて、
　　１２＝ｈ/√３ ＋８＋ｈ
を得ます。

投稿日時 - 2007-06-18 12:59:37

上辺の両端から下辺へ垂直線を引く
すると、底辺１２は両脇の三角形の底辺と上辺の長さの和である。
「垂直線は、台形の高さでありｈの長さとする」

内角の大きさが45度の側の三角形の底辺はｈ　　∵直角二等辺三角形
内角の大きさが60度の側の三角形の底辺をｘとすると　ｘ：ｈ＝１：√３　　∵正三角形を縦２分した形で正三角形の高さがｈ：ここを間違えないように

投稿日時 - 2007-06-18 12:45:34

ＮＯ１さんのとおり。

>60度は比で表すと台形ＡＢＣＤとおいて
角Ｂを60度おいて比はAB2h ,高さ√3 h 底辺h

とありますが、最初に「高さをｈ」としたのですから、
「高さ√3 h 底辺h」ではなく、「高さｈ、底辺h/√３」です。
落ち着いて考えましょう。

投稿日時 - 2007-06-18 12:40:59

本当にどうやって現われたのでしょうね？
小学校の台形の面積の計算の仕方だと、
（8+12）ｈ/2　
ですけど。√3　が出てくるということは60度の三角形の長さに
関連していると思われます。　等号式になっているので、何かの
条件があるときに高さを求めるものだと思うのですが、もうひとつ
何か条件があると思われます。　問題を今一度ご確認いただけます
でしょうか？

投稿日時 - 2007-06-18 12:04:09