不等式の足し算について

質問

a,bは正の整数で、a,bの桁数を求める問題です。
２３≦4log[10]a + 4log[10]b＜２４・・・（１）
１５≦4log[10]a - 4log[10]b＜１６・・・（２）
（１）＋（２）より
３８≦8log[10]a＜４0
10^38≦a^8＜10^40・・・（３）
（３）を1/8乗して
10^(19/4)≦a<10^5
10^4<a<10^5
したがって、aは５桁の数である。
そこでなのですがこれを答えとしてよいのでしょうか？
不等式どうしの足し算（四則演算すべても）は必要十分条件ではないですよね？そこが引っかかるのですが・・・。

つまり、
「２３≦4x+4y＜２４・・・（１）
１５≦4x-4y＜１６・・・（２）
（１）＋（２）より
３８≦8ｘ＜４0
19/4≦ｘ＜5・・・（答）
（１）（２）⇔（答）ではないのにこれをｘの範囲として良いのでしょうか？」という質問です。

回答No.7

oshiete_goo

zabuzaburoさんの解説で既にお分かりとは思いますが,
「xの変域が19/4≦ｘ＜5」
⇔(変数)xの取り得る値の集合が{x|19/4≦ｘ＜5}
⇔xは 19/4≦ｘ＜5 の範囲の値はすべて取り得るが, 他の値は取らない.
という意味ですね.

不等式一般の話を始めるとややこしいので, 今問題になっているx,yの一次式の場合に限って話を進めます.
＞線形結合って何でしょうか？
ベクトルのところでおそらくご存知の一次結合(=線形結合=linear combination)のことで，先ほどの例だと
2x+y=α(x + y)+β(x - y) （α,βは実数の定数）
の形です．これを解くとα＝3/2,β=1/2 なので，
(1)×(3/2)・・・-3/2＜(3/2)x+(3/2)y＜3/2
(2)×(1/2)・・・-1/2＜(1/2)x-(1/2)y＜1/2
を[不等号の向きをそろえて]辺辺加えると
-2＜2x+y＜2
が正しく得られます．
条件式がもっと多かったり，-2＜x+y＜5, -3＜x+y＜3 みたいなことになると，話はそれほど簡単でないことはもう了解済みと思いますが，
今，特に問題の
a＜px+qy＜b, c＜rx+sy＜d の形[ただしps-qr≠0]ならば，（図を描かなくても）同様に処理できることが分かるでしょう．(等号が入ってもほぼ同じですね．)

＞「xの変域としては(3)は正しいし，(5)も正しくyの変域を表しています」というのが、わかりません。

xy平面に(1)，(2)を図示してみればわかるように，ひし形(実は正方形)の領域(ただし内部のみ)で，x,yの変域は-1＜x＜1, -1＜y＜1 です．でも「-1＜x＜1 かつ -1＜y＜1 」という正方形の領域は元と同値ではないわけです．

これまでの皆さんの回答で多分お分かりのように，不等式で与えられた条件式は一般的には扱いに注意が必要で，変域を求める場合も「本当にその範囲の値をすべて取り得るか」の確認をしないとまずいでしょう．しかし，それほど複雑でないときは図示したりすれば分かる場合が多いし，上のような例であれば，機械的に求めてもよいので，いたずらに恐れることなく，(でも抜かりなく)勉強を進めていってください．

お礼

お返事ありがとうございます。何度もすみませんでした。線形結合についてもいろいろ勉強になりました。