不等式の足し算について

質問

a,bは正の整数で、a,bの桁数を求める問題です。
２３≦4log[10]a + 4log[10]b＜２４・・・（１）
１５≦4log[10]a - 4log[10]b＜１６・・・（２）
（１）＋（２）より
３８≦8log[10]a＜４0
10^38≦a^8＜10^40・・・（３）
（３）を1/8乗して
10^(19/4)≦a<10^5
10^4<a<10^5
したがって、aは５桁の数である。
そこでなのですがこれを答えとしてよいのでしょうか？
不等式どうしの足し算（四則演算すべても）は必要十分条件ではないですよね？そこが引っかかるのですが・・・。

つまり、
「２３≦4x+4y＜２４・・・（１）
１５≦4x-4y＜１６・・・（２）
（１）＋（２）より
３８≦8ｘ＜４0
19/4≦ｘ＜5・・・（答）
（１）（２）⇔（答）ではないのにこれをｘの範囲として良いのでしょうか？」という質問です。

回答No.6

zabuzaburo

まずは準備から。
(A)「x ≧ 3 のとき、y = x^2 の変域を求めよ」と聞かれれば、y ≧ 9 ですね。
(B)「x = 3 のとき、y = x^2 の値を求めよ」と聞かれれば、y = 9 です。
変域というものは普通は(A)のように広がりを持っていますが、
(B)も、「9」という一点だけでできた変域(9 ≦ y ≦ 9)を
求めていると考えられます。したがって、
いわゆる求値問題は、変域を求める問題の一種である
と考えることもできます。

さて、「求値問題では必要十分条件を求める」と教わっているし、
変域を求めるときも必要十分条件を求めるのだ、というのが
apple_teaさんの現在の認識ですね。
しかし、上の(A)(B)では変域(あるいは値)が正しく求まっているにもかかわらず、
「y ≧ 9」は「x ≧ 3」の必要十分条件ではないし、
「y = 9」も「x = 3」の必要十分条件ではありません。
xが負の場合だって考えられるからです。

「正しい変域」と「必要十分条件」とを混同されているのです。

ご質問の不等式でも、かりに正当な手続きを踏んでxの変域が出たとしても、
そこにはyは一切登場しないはずですから、
もとの不等式(yが含まれている)と必要十分になるはずがないのです。
No.3の回答に対する補足の末尾に書かれた疑問も、
ここのところを充分に理解されていないために生じているわけです。

正しく変域を求めるとはどういうことなのか、考えてみましょう。
ご質問の不等式ではグラフを描けば簡単に求まるのですが、
あえて計算で求めます。
4x = X、4y = Yと書いて見やすくして、Xの変域を求めてみましょう。
(1)23 ≦ X + Y < 24
(2)15 ≦ X - Y < 16

たとえばXは19という値を取れるでしょうか？
X = 19としたとき、
(1)は23 ≦ 19 + Y < 24、すなわち4 ≦ Y < 5となり、
(2)は15 ≦ 19 - Y < 16、すなわち3 < Y ≦ 4となります。
これらを同時に満たすYがあれば、Xは19という値を取ることができます。
この場合、Y = 4とすれば良いですから、「19」という値はXの変域に含まれます。
ここで重要なのは、Yの具体的な値ではなく、
とにかくXに「19」という値を取らせるYが「存在する」ことです。

それでは、21という値ならどうか？
同様にすると(1)は2 ≦ Y < 3、(2)は5 < Y ≦ 6
となってしまい、これらを同時に満たすYは存在しません。
したがって「21」は変域から外されているはずです。

こういう作業を無限に繰り返せば、個々の値が変域に含まれるかどうかは
判定できますが、一気に変域を求めるために一般化しましょう。
「Xはkという値を取りうるか？」
(1)は23 ≦ k + Y < 24、すなわち 23 - k ≦ Y < 24 - k
(2)は15 ≦ k - Y < 16、すなわち k - 16 < Y ≦ k - 15
この2つの領域が重なり合うところがあれば、
Yをその範囲内の値にすることによってXはkという値を取ることができます。
しかし両者が全く離れていたら、Xはkという値を取ることができません。
数直線を書いて考えると、
「『23 - k ≦ k - 15』かつ『k - 16 < 24 - k』」のとき、両者は重なり合います。
これを解くと 19 ≦ k < 20となります。すなわち、
Xの変域は「19 ≦ X < 20」であり、x(= X/4)の変域は「19/4 ≦ x < 5」です。

上で見てきたことから分かるように、「19/4 ≦ x < 5」は
「(1)かつ(2)」自体と必要十分なのではなく、
「(1)かつ(2)を満たすyが存在する」という条件と必要十分なのです。

さて、ここからはまた別の話です。
この問題では(1)+(2)で得られた不等式が
xの変域を与える不等式と一致しましたが、これはたまたまです。
すでに指摘されているように、変域を求めるという観点からは
こんな幸運なことが常に起こるわけではありませんから、一般には誤りです。
しかし、ここで注意して欲しいのは、
「xの変域は『19/4 ≦ x < 5』である」というのと、
「xは『19/4 ≦ x < 5』を満たす」というのは全く違う、ということです。
前者は範囲をはみ出すことがないのはもちろん、
範囲内の値を全て取ることがある、という厳しい条件ですが、
後者は単にその範囲内に収まっている、というだけの条件です。
ですから、「(1)+(2)より、xの変域は『19/4 ≦ x < 5』である」というのは誤りでも、
「(1)+(2)より、xは『19/4 ≦ x < 5』を満たす」というのは全く問題ありません。
必要条件おおいに結構です。ここからさらに範囲を緩めて
「xは『4 < x < 5』を満たす」として「aは5桁である」と結論するわけで、
数学の推論というのはもともと必要条件でしかないものがほとんどです。

お礼

こんにちは。お返事が送れて申し訳ありません。最初お返事をいただいて読んだときにはもうひとつよくわからなかったのですが(すみません(^^))、今もういちどじっくり読み返しますといくらこんな私でも理解できたような気がします。

＞さて、「求値問題では必要十分条件を求める」と教わっているし、
変域を求めるときも必要十分条件を求めるのだ、というのが
apple_teaさんの現在の認識ですね。
しかし、上の(A)(B)では変域(あるいは値)が正しく求まっているにもかかわらず、
「y ≧ 9」は「x ≧ 3」の必要十分条件ではないし、
「y = 9」も「x = 3」の必要十分条件ではありません。
xが負の場合だって考えられるからです。

これは驚きでした。イコールでも必要条件になるときがあるのですね、
ということは、「求値問題では必要十分条件を求める」というのは誤りだということでしょうか？習ったのは「方程式では必要十分条件を求める」だったかもしれませんが・・・自信ありません(^^)

＞上で見てきたことから分かるように、「19/4 ≦ x < 5」は
「(1)かつ(2)」自体と必要十分なのではなく、
「(1)かつ(2)を満たすyが存在する」という条件と必要十分なのです。

そうだっったんですね・・・。「必要十分」を持ち出すとすればそうなるんですね。

＞しかし、ここで注意して欲しいのは、
「xの変域は『19/4 ≦ x < 5』である」というのと、
「xは『19/4 ≦ x < 5』を満たす」というのは全く違う、ということです。

はい、今まで全然注意をはらていませんでした・・(^^)。いつもここで立ち止まって悩んでたように思います。ということは、ただ単に19/4 ≦ x < 5とあったときに通りの意味で解釈できると言うことですね！！必要条件はよく「満たす」というのが登場してきますね。

＞「(1)+(2)より、xは『19/4 ≦ x < 5』を満たす」というのは全く問題ありません。必要条件おおいに結構です。ここからさらに範囲を緩めて
「xは『4 < x < 5』を満たす」として「aは5桁である」と結論するわけで、
数学の推論というのはもともと必要条件でしかないものがほとんどです。

上のご説明で「(1)かつ(2)のyが存在するという条件」と『19/4 ≦ x < 5』は必要十分と書かれてあったので、これは見方を変えれば「必要十分」だから両者の関係は必要十分だと思っていたのですが、違っていたのですね。ということは、改めなければならないのは「不等式では必要条件」でも答えとしていいと言うことですか？「必要十分条件」にとらわれてしまっている気がしますが、どういうときに「必要条件」が答えになって、どういうときに「必要十分条件」が答えになるのでしょうか？何度もすみません。