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「正多面体スポンジ」の性質は?
初めて質問します。数学は高校(文系)のレベルです。 中学生のとき一松信先生の『正多面体を解く』を読んで興味を持つようになりました。 すべての頂点に同じ形に正p角形の頂点がq個集まるように並べると、 (1) (p,q)=(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3) のとき、ピタゴラスの正多角形になり、 (2) (p,q)=(4,4),(3,6),(6,3) のとき、アルキメデスの平面充填形になるわけですが、もっとpとqの値を大きくして (3) (p,q)=(4,6),(6,4),(6,6)... などのとき、スポンジ状の立体ができあがります。この立体はどういうものでしょうか。 (1)が球面、(2)が平面になることから類推すると、(3)は双曲面的な性質を 持っていそうなのですが、うまく数式化できません。 また、二次曲線が円錐曲線であるように、これらの立体も何らかの形の切片で表せる ものなのでしょうか。
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お礼
お礼が遅くなりました。ありがとうございます。 「正多面体スポンジ」がトーラスの概念と密接であることがよく分かりました。 この辺り、勉強してみようと思います。 お礼ついでに補足しますと、私の書いた「基本ユニット」は、 (p,q)=(4,6),(6,4)の場合 ( x , y , z ) = ( u-v , uv , (1-u)(1-v) ) , 0<=u<=1 , 0<=v<=1 (p,q)=(6,6)の場合 ( x , y , z ) = ( u , v , uv ) , -1<=u<=1 , -1<=v<=1 で表される(と思われる)鞍型を指していて、stomachmanさんのおっしゃる 基本ユニットの1/24とか、もっと細かく区切った一部分になりますね。 これが数式的にうまく「接着」できないんですよ。(^^; どこかで間違えてるのでしょうか。 懲りずにまた考えてみます。
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遅くなりましたが改めてお礼の上、当スレッド閉鎖します。 他のところでもお世話になるかと思いますが、よろしくお願いします。 ありがとうございました。